Imagem da Função Quadrática: como encontrar (com exemplos passo a passo)

A imagem — também chamada de conjunto-imagem — de uma função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\,(a\ne 0)\) é o intervalo de valores de \(y\) que a parábola assume no plano. Ela depende do sinal de \(a\) (concavidade) e do vértice \(V(x_v,y_v)\).

Imagem da função quadrática: gráfico com parábolas abrindo para cima e para baixo, indicando intervalos [y_v,+∞) e (-∞,y_v].

Regra de bolso. Se \(a>0\) (parábola para cima) a imagem é [y_v, +∞). Se \(a<0\) (parábola para baixo) a imagem é (-∞, y_v]. Em ambos os casos, \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\) com \(\Delta=b^2-4ac\).

1) Pela fórmula do vértice (usando o discriminante)

Calcule o discriminante \(\Delta=b^2-4ac\). Em seguida:

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        \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\)
        \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\)
        Se \(a>0\): \(\operatorname{Im}(f)=[y_v,+\infty)\)
        Se \(a<0\): \(\operatorname{Im}(f)=(-\infty,y_v]\)
      

2) Pela forma canônica (completar quadrados)

Reescreva \(f(x)\) como \(f(x)=a(x-h)^2+k\). O vértice é \(V=(h,k)\), então:

Se \(a>0\): \(\operatorname{Im}(f)=[k,+\infty)\) Se \(a<0\): \(\operatorname{Im}(f)=(-\infty,k]\)

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Exemplos resolvidos (contas em coluna)

Exemplo 1 — \(f(x)=x^2-4x+5\)

Objetivo: achar \(\Delta\), \(V(x_v,y_v)\) e a imagem.

          Delta
          \(\Delta=b^2-4ac\)
          \(=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5\)
          \(=16-20\)
          \(=-4\)
          Vértice
          \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2\)
          \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{-4}{4\cdot 1}=1\)
          Imagem
          Como \(a=1>0\) (parábola para cima): \(\operatorname{Im}(f)=[1,+\infty)\).
        

Exemplo 2 — \(g(x)=-2x^2+8x-7\)

Objetivo: achar \(\Delta\), \(V(x_v,y_v)\) e a imagem.

          Delta
          \(\Delta=b^2-4ac\)
          \(=8^2-4\cdot(-2)\cdot(-7)\)
          \(=64-56\)
          \(=8\)
          Vértice
          \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=2\)
          \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{8}{4\cdot(-2)}=1\)
          Imagem
          Como \(a=-2<0\) (parábola para baixo): \(\operatorname{Im}(g)=(-\infty,1]\).
        

Erros comuns (e como evitar)

Esquecer o sinal de \(a\): ele define se o intervalo “abre para cima” \([y_v,+\infty)\) ou “fecha para baixo” \((-\infty,y_v]\).
Trocar \(x_v\) e \(y_v\): \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
Confundir domínio com imagem: o domínio de \(ax^2+bx+c\) é \(\mathbb{R}\); quem muda é a imagem.
Desconsiderar domínio restrito: se \(x\) está limitado (ex.: \(x\in[1,3]\)), ache o menor e o maior valor de \(f\) nesse intervalo para obter a imagem correspondente.