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Função Exponencial: Definição, Gráficos, Propriedades e Exercícios

Função Exponencial: Guia Completo

A função exponencial é um dos tópicos mais importantes da Matemática, especialmente no ENEM, vestibulares e concursos. Ela descreve fenômenos de crescimento e decaimento, como juros compostos, populações e radioatividade. Vamos explorar sua definição, propriedades e aplicações.

Definição

$$ f(x) = a^x \quad , \quad a>0 \;,\; a \neq 1 $$

O domínio é $\mathbb{R}$ e a imagem é $(0,+\infty)$. O ponto $(0,1)$ pertence sempre ao gráfico, pois $a^0 = 1$.

Gráficos

Se 0 < a < 1: função decrescente.
Se $a>1$: função crescente.

O gráfico nunca toca o eixo $x$, apenas se aproxima dele.

Propriedades da Potenciação

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$

$$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$

$$ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$

Equações Exponenciais

São equações em que a incógnita está no expoente. Exemplo:

$$\begin{aligned} 3^x &= 243 \\ 243 &= 3^5 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

Inequações Exponenciais

Quando a incógnita aparece no expoente em uma desigualdade:

Se $a>1$: mantém-se o sinal da desigualdade.
Se $0

Exemplo Resolvido

$$\begin{aligned} 2^{x+1} &= 16 \\ 2^{x+1} &= 2^4 \\ x+1 &= 4 \\ x &= 3 \end{aligned}$$

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Exercícios Propostos

$$\begin{aligned} 5^{x} &= 125 \\ 125 &= 5^3 \\ x &= 3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} 4^{x-2} &= \frac{1}{16} \\ \frac{1}{16} &= 4^{-2} \\ x-2 &= -2 \\ x &= 0 \end{aligned}$$

Conclusão

A função exponencial é fundamental para compreender fenômenos de crescimento, juros compostos e até modelos populacionais. Reforce o estudo com nossos mapas mentais, consulte o Banco de Questões e revise com o E-book de Fórmulas Matemáticas.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.