Logaritmo: definição, propriedades e exemplos resolvidos

O logaritmo é uma das ferramentas matemáticas mais importantes, com aplicações em provas do ENEM, concursos, ciências naturais e tecnologia. Ele surge como o expoente ao qual uma base deve ser elevada para gerar um número.

Definição de logaritmo

Para \(a>0\), \(a\neq1\) e \(b>0\): \[ \log_{a} b = x \iff a^{x} = b \] Nesse caso: – \(a\) é a base do logaritmo. – \(b\) é o logaritmando. – \(x\) é o logaritmo.

Exemplos básicos

\(\log_{2} 8 = 3 \quad\) pois \(2^3=8\).
\(\log_{5} 125 = 3 \quad\) pois \(5^3=125\).
\(\log_{10} 0,01 = -2 \quad\) pois \(10^{-2}=0,01\).

Consequências da definição

\(\log_{a} 1 = 0\) (qualquer base válida elevada a 0 dá 1).
\(\log_{a} a = 1\).
\(\log_{a} b = c \iff b=a^{c}\).
Não existe logaritmo de número negativo nem de base negativa.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: Resolva \(\log_{3} 81\)

Como \(81=3^4\), então \(\log_{3} 81=4\).

Exemplo 2: Resolva \(\log_{5} \tfrac{1}{125}\)

\(\tfrac{1}{125}=5^{-3}\), logo \(\log_{5}\tfrac{1}{125}=-3\).

Exemplo 3: Resolva \(\log_{2} x = 7\)

\(\log_{2} x = 7 \iff 2^{7}=x \iff x=128\).

Logaritmos decimais e na calculadora

O logaritmo decimal (base 10) é indicado por \(\log x\). Exemplo: \(\log 1000 = 3\).

Nas calculadoras científicas, o botão log fornece logaritmos de base 10 e o botão ln fornece logaritmos de base \(e\) (número de Euler).

Exercícios práticos

\(\log_{2} 32\)
\(\log_{3} 81\)
\(\log_{10} 0,001\)
Resolva: \(\log_{5} x = 4\)

Gabarito

1) 5. 2) 4. 3) -3. 4) \(x=625\).

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Conclusão

O logaritmo é o inverso da potência. Ele facilita cálculos, simplifica equações e é essencial para questões de concursos, estatística e ciências. Compreender sua definição e propriedades é fundamental para avançar em Matemática Básica e Avançada.