Área e Comprimento da Circunferência (Círculo)
Fórmulas essenciais \(A=\pi R^2\) e \(C=2\pi R\), variações com diâmetro, setor e arco — com exemplos e exercícios.
Fórmulas principais
Área do círculo
\[A=\pi R^2\]
Resultado em unidades de área (cm², m², …).
Comprimento da circunferência (perímetro)
\[C=2\pi R\]
Também vale \(C=\pi d\), pois \(d=2R\).
Variações úteis (com diâmetro)
\[ C=\pi d \quad\text{e}\quad A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{4} \]
Setor circular e arco
\[ \text{Arco: } L=\frac{\theta}{360^\circ}\,2\pi R=\theta_{\text{rad}}\,R \]
\[ \text{Setor: } A_s=\frac{\theta}{360^\circ}\,\pi R^2=\frac{\theta_{\text{rad}}}{2}\,R^2 \]
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 Básico
Para um círculo de raio \(R=7\,\text{cm}\), calcule a área e o comprimento da circunferência. Use \(\pi\approx 3{,}14\).
Ver solução
\(=3{,}14\cdot 7^2\)
\(=3{,}14\cdot 49\)
\(=153{,}86\,\text{cm}^2\).
Comprimento: \(C=2\pi R\)
\(=2\cdot 3{,}14 \cdot 7\)
\(=43{,}96\,\text{cm}\).
Exemplo 2 Com diâmetro
Um círculo possui diâmetro \(d=10\,\text{m}\). Calcule \(C\) e \(A\) com \(\pi\approx 3{,}14\).
Ver solução
\(=5\,\text{m}\).
\(C=\pi d\)
\(=3{,}14\cdot 10\)
\(=31{,}4\,\text{m}\).
\(A=\pi R^2\)
\(=3{,}14\cdot 5^2\)
\(=3{,}14\cdot 25\)
\(=78{,}5\,\text{m}^2\).
Exemplo 3 Arco e setor
No círculo de raio \(R=6\,\text{cm}\), considere o ângulo central \(\theta=60^\circ\). Calcule o comprimento do arco e a área do setor. Use \(\pi\approx 3{,}14\).
Ver solução
\(=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\cdot 3{,}14\cdot 6\)
\(=\dfrac{1}{6}\cdot 37{,}68\)
\(=6{,}28\,\text{cm}\).
Setor: \(A_s=\dfrac{\theta}{360^\circ}\,\pi R^2\)
\(=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 3{,}14\cdot 36\)
\(=\dfrac{1}{6}\cdot 113{,}04\)
\(=18{,}84\,\text{cm}^2\).
Exercícios de múltipla escolha (com gabarito)
Enunciados completos e soluções com os passos em linhas sucessivas (após cada “=”). Considere \(\pi\approx 3{,}14\) quando necessário.
1) Um círculo tem raio 5 cm. Qual é a área aproximada?
Gabarito e solução
\(=3{,}14\cdot 5^2\)
\(=3{,}14\cdot 25\)
\(=78{,}50\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra B.
2) O diâmetro de um círculo é 14 cm. Qual é o comprimento da circunferência?
Gabarito e solução
\(=3{,}14\cdot 14\)
\(=43{,}96\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra A.
3) Uma circunferência tem comprimento 31,4 cm. Qual é o raio?
Gabarito e solução
\(31{,}4=6{,}28R\)
\(R=\dfrac{31{,}4}{6{,}28}\)
\(=5\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra B.
4) Num círculo de raio 8 cm, o ângulo central mede 45°. O comprimento do arco correspondente é:
Gabarito e solução
\(=\dfrac{45^\circ}{360^\circ}\cdot 2\cdot 3{,}14\cdot 8\)
\(=\dfrac{1}{8}\cdot 50{,}24\)
\(=6{,}28\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra C.
5) Para \(R=9\,\text{cm}\) e \(\theta=120^\circ\), a área do setor é:
Gabarito e solução
\(=\dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 9^2\)
\(=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 81\)
\(=27\pi\approx 84{,}78\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra A.
6) A área de um círculo é 154 cm². Usando \(\pi\approx 3{,}14\), determine o raio.
Gabarito e solução
\(R^2=\dfrac{154}{3{,}14}\)
\(R^2\approx 49{,}04\)
\(R\approx 7\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra B.
7) Se o comprimento da circunferência é \(18\pi\) cm, qual é a área?
Gabarito e solução
\(A=\pi R^2\)
\(=\pi\cdot 9^2\)
\(=81\pi\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra B.
8) Uma roda de raio 0,30 m gira 20 voltas sem derrapar. Qual a distância percorrida?
Gabarito e solução
\(=20\cdot 2\pi\cdot 0{,}30\)
\(=20\cdot 0{,}60\pi\)
\(=12\pi\approx 37{,}7\,\text{m}\Rightarrow\) Letra B.
Dicas finais
- Lembre: \(d=2R\) e \(C=\pi d\) — frequentemente é o caminho mais curto.
- Setores em radianos simplificam: \(L=\theta R\) e \(A_s=\dfrac{\theta R^2}{2}\).
- Verifique unidades (cm, m) antes de substituir na fórmula.
