Aumento e Desconto Percentual — Fórmulas, Exemplos, Casos Sucessivos e Exercícios Resolvidos
Aprenda como calcular aumentos e descontos percentuais, incluindo casos sucessivos e mistos, com as fórmulas FV = PV(1 + i) e FV = PV(1 − i). Veja aplicações reais, exemplos e exercícios passo a passo.
📘 O que é Aumento e Desconto Percentual?
O aumento percentual e o desconto percentual representam variações de preço, salário ou valor em função de uma taxa percentual. Quando há um aumento, o valor cresce proporcionalmente; quando há um desconto, o valor diminui proporcionalmente.
São conceitos essenciais para compreender porcentagem, juros simples e juros compostos.
🧮 Fórmulas de Aumento e Desconto Percentual
Aumento Percentual
FV = PV(1 + i)
FV → Valor Futuro (após aumento)
PV → Valor Presente
i → Taxa percentual (em forma decimal)
Desconto Percentual
FV = PV(1 − i)
FV → Valor Futuro (após desconto)
PV → Valor Presente
i → Taxa percentual (em forma decimal)
🔹 Interpretação das Fórmulas
As duas expressões indicam a multiplicação do valor inicial pelo fator percentual:
- Para aumentar 10%, multiplicamos por (1 + 0,10) = 1,10;
- Para reduzir 10%, multiplicamos por (1 − 0,10) = 0,90.
O número 1 representa o valor total (100%), e o termo ± i corresponde à variação percentual.
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📈 Exemplos de Aumento Percentual
Exemplo 1
Um produto custava R$ 500,00 e teve aumento de 20%. Qual é o novo preço?
FV = 500 × (1 + 0,20) = 500 × 1,20 = R$ 600,00
Exemplo 2
Um salário de R$ 2.000,00 foi reajustado em 8%. Qual será o novo salário?
FV = 2000 × (1 + 0,08) = 2000 × 1,08 = R$ 2.160,00
💰 Exemplos de Desconto Percentual
Exemplo 1
Um celular custa R$ 2.500,00 e está com 15% de desconto. Qual será o preço final?
FV = 2500 × (1 − 0,15) = 2500 × 0,85 = R$ 2.125,00
Exemplo 2
Uma calça custa R$ 180,00 e recebeu desconto de 12%. Qual o valor a pagar?
FV = 180 × (1 − 0,12) = 180 × 0,88 = R$ 158,40
📊 Aumento Sucessivo, Desconto Sucessivo e Desconto com Aumento
🔹 Aumento Sucessivo
Ocorre quando um valor sofre dois ou mais aumentos consecutivos. A fórmula geral é:
FV = PV × (1 + i₁) × (1 + i₂)
Exemplo: Um produto custa R$ 100,00. Primeiro sofre aumento de 10%, depois de 20%.
FV = 100 × (1 + 0,10) × (1 + 0,20) = 100 × 1,10 × 1,20 = R$ 132,00
A taxa total não é 30%, e sim 32%, pois o segundo aumento incide sobre o valor já reajustado.
🔸 Desconto Sucessivo
Quando há mais de um desconto aplicado em sequência. A fórmula é:
FV = PV × (1 − i₁) × (1 − i₂)
Exemplo: Um produto de R$ 200,00 tem desconto de 10% e, em seguida, outro de 5%.
FV = 200 × (1 − 0,10) × (1 − 0,05) = 200 × 0,9 × 0,95 = R$ 171,00
O desconto total não é 15%, mas 14,5%.
🟢 Desconto seguido de Aumento (ou vice-versa)
Quando um produto sofre um desconto e depois um aumento, o resultado final não é neutro. As operações percentuais não se cancelam, pois o segundo cálculo é feito sobre um novo valor.
Exemplo: Um produto custa R$ 100,00, tem 20% de desconto e depois aumento de 20%.
FV = 100 × (1 − 0,20) × (1 + 0,20) = 100 × 0,8 × 1,2 = R$ 96,00
Mesmo com aumentos e descontos de mesma taxa, o valor final é menor que o inicial, devido à base de cálculo diferente.
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🧠 Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Um produto de R$ 900,00 teve aumento de 25%. Qual é o novo valor?
Ver solução
Exercício 2: Uma TV custa R$ 2.000,00 e teve dois descontos sucessivos: 10% e 15%. Qual o preço final?
Ver solução
Exercício 3: Um produto custa R$ 100,00, recebe desconto de 10% e depois aumento de 10%. Qual o valor final?
