Integral: Método da Substituição
O método da substituição é uma das principais técnicas de integração. Ele simplifica uma integral através da troca de variáveis, transformando o integrando em uma forma mais simples de resolver. Esse método é especialmente útil quando encontramos composições de funções, como em \( f(g(x)) \).
1. Método da Substituição para Integrais Indefinidas
Quando temos uma integral do tipo:
Podemos fazer a substituição:
Assim, a integral fica:
Depois de resolver a integral em função de \(u\), substituímos novamente \(u = g(x)\) para retornar à variável original.
Exemplo 1 – Integral indefinida
Calcule \( \displaystyle \int 2x \cos(x^2)\,dx \).
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Substituímos \( u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx \). Logo: \[ \int 2x\cos(x^2)\,dx = \int \cos(u)\,du \] \[ \int \cos(u)\,du = \sin(u) + C \] Voltando à variável original: \[ \sin(x^2) + C \]
Resultado: \( \boxed{\sin(x^2) + C} \)
Exemplo 2 – Integral indefinida
Calcule \( \displaystyle \int \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}\,dx \).
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Substituímos \( u = x^3 + 1 \Rightarrow du = 3x^2\,dx \). \[ \int \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}\,dx = \int \frac{1}{u^2}\,du \] \[ \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C \] Voltando: \[ -\frac{1}{x^3 + 1} + C \]
Resultado: \( \boxed{-\frac{1}{x^3 + 1} + C} \)
Exercícios para praticar (indefinidas)
- \( \displaystyle \int x e^{x^2}\,dx \)
- \( \displaystyle \int (2x+3)\sqrt{x^2+3x+1}\,dx \)
- \( \displaystyle \int \frac{\cos(5x)}{5}\,dx \)
- \( \displaystyle \int \frac{x}{(x^2+1)}\,dx \)
- \( \displaystyle \int (3x^2 + 4x)e^{x^3 + 2x^2}\,dx \)
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- \( \frac{1}{2}e^{x^2} + C \)
- \( \frac{2}{3}(x^2+3x+1)^{3/2} + C \)
- \( \frac{\sin(5x)}{25} + C \)
- \( \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C \)
- \( \frac{1}{3}e^{x^3 + 2x^2} + C \)
2. Método da Substituição para Integrais Definidas
Quando a integral possui limites, o processo é semelhante, mas ajustamos os limites conforme a substituição feita.
Exemplo 3 – Integral definida
Calcule \( \displaystyle \int_0^1 2x e^{x^2}\,dx \).
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Substituímos \( u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx \). Quando \( x=0 \Rightarrow u=0 \) Quando \( x=1 \Rightarrow u=1 \) \[ \int_0^1 2x e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du \] \[ = e^u \Big|_0^1 = e – 1 \]
Resultado: \( \boxed{e – 1} \)
Exemplo 4 – Integral definida
Calcule \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx \).
👀 Ver solução passo a passo
Substituímos \( u = 2x \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2} \). Quando \( x=0 \Rightarrow u=0 \) Quando \( x=\pi/2 \Rightarrow u=\pi \) \[ \int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \sin(u)\,du \] \[ = \frac{1}{2}[-\cos(u)]_0^{\pi} = \frac{1}{2}[(-\cos(\pi)) – (-\cos(0))] = \frac{1}{2}[1 + 1] = 1 \]
Resultado: \( \boxed{1} \)
Exercícios para praticar (definidas)
- \( \displaystyle \int_0^2 x e^{x^2}\,dx \)
- \( \displaystyle \int_1^2 \frac{2x}{x^2+1}\,dx \)
- \( \displaystyle \int_0^{\pi/4} \sec^2(2x)\,dx \)
- \( \displaystyle \int_0^1 (3x^2+2x)e^{x^3+x^2}\,dx \)
- \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos(3x)\,dx \)
📘 Mostrar gabarito
- \( \frac{1}{2}(e^4 – 1) \)
- \( \ln(5) – \ln(2) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) \)
- \( \frac{1}{2}\tan(2x)\Big|_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} \)
- \( e^2 – 1 \)
- \( \frac{1}{3}\sin(3x)\Big|_0^{\pi/2} = \frac{1}{3} \)
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