Corolário do Teorema de Tales — Explicação, Fórmula e Exemplos

O Corolário do Teorema de Tales surge quando aplicamos o Teorema de Tales dentro de um triângulo, traçando um segmento paralelo a um dos lados. Isso gera triângulos menores semelhantes ao triângulo original, preservando proporcionalidade entre os lados.

Representação geométrica

Corolário do Teorema de Tales representado em um triângulo com segmento paralelo.

Na figura acima, o ponto D divide o lado AB e o ponto E divide o lado AC, enquanto o segmento DE é traçado paralelo ao lado BC.

Fórmula do Corolário de Tales

Quando isso acontece, valem as seguintes proporções:

\(\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\)

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Resumo: se um segmento é paralelo a um lado de um triângulo, ele divide os outros dois lados de forma proporcional.

Por que esse resultado é importante?

Esse corolário explica porque muitos problemas envolvendo triângulos podem ser resolvidos usando proporções sem necessidade de cálculos trigonométricos.

Ele é aplicado em:

topografia;
maquetes e escalas;
projeções cartográficas;
ENEM, OBMEP e vestibulares;
provas de concursos públicos.

Exemplo resolvido

Problema: No triângulo \(ABC\), o segmento \(DE\) é paralelo a \(BC\). Se \(AD = 3\), \(DB = 5\), e \(AE = 6\), encontre o valor de \(EC\).

Usamos a relação:

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Substituindo:

\(\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{6}{EC}\)

Aplicando produto em cruz:

\(3 \cdot EC = 5 \cdot 6 \Rightarrow 3\,EC = 30\)

Isolando:

\(EC = 10\)

Resposta: \(EC = 10\).

Exercícios para treinar

Se \(AD = 4\), \(AE = 8\) e \(AC = 12\), determine \(AB\).
No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AD = 3\), \(DB = 9\) e \(AE = 5\). Encontre \(EC\).
Explique com palavras por que o corolário de Tales implica semelhança de triângulos.