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(IBFC – 2023 – Trigonometria) A imagem da função ƒ: ℝ → ℝ definida por ƒ(x) = cos(x) é igual a Im(ƒ) = {y ∈ ℝ | -1 ⪯ y ⪯ 1}. Sendo assim a imagem da função definida por ƒ(x) = 1 – 2.cos(x) é igual a:
A) [−1, 1]
B) [−1, 3]
C) [−2, 2]
D) [0, 1]
E) [−2, 0]
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Para determinar a imagem da função f(x) = 1 – 2cos(x), vamos analisar os valores possíveis de cos(x) e como eles afetam f(x).
Passo 1: Intervalo da Função cos(x)
Sabemos que para a função cos(x), a imagem é:
cos(x) ∈ [-1, 1]
Passo 2: Substituir os valores extremos de cos(x) em f(x)
A função dada é:
f(x) = 1 – 2 cos(x)
Vamos encontrar os valores máximo e mínimo de f(x) substituindo os extremos de cos(x) (-1 e 1).
- Quando cos(x) = 1 :
f(x) = 1 – 2 ⋅ 1 = 1 – 2 = -1 - Quando cos(x) = -1:
f(x) = 1 – 2 ⋅ (-1) = 1 + 2 = 3
Passo 3: Concluir o intervalo da imagem
Portanto, a imagem de f(x) = 1 – 2 cos(x) é o intervalo entre -1 e 3:
Im(f) = [-1, 3]
Resposta
A alternativa correta é:
B) [-1, 3]
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