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Questão de Analise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo no qual em cada partida há um único vencedor. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores? (Sugestão: Construa o diagrama de árvore.)
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1 – Revisão do Problema
O jogo termina quando:
- Um dos jogadores (Antônio ou Benedito) vence 2 partidas consecutivas.
- São jogadas 4 partidas no total, sem que ninguém tenha vencido 2 partidas consecutivas.
Agora, organizaremos as sequências possíveis de ganhadores A (Antônio) e B (Benedito) em forma de um diagrama de árvore, para visualizar todas as trajetórias possíveis.
2 – Diagrama de Árvore
Explicando a Árvore…
Cada coluna do diagrama representa uma partida, com os possíveis resultados sendo A ou B.
- Primeira partida:
- A: Antônio vence.
- B: Benedito vence.
- Segunda partida:
- Após A:
- AA: Antônio vence 2 consecutivas (jogo termina).
- AB: O jogo continua.
- Após B:
- BB: Benedito vence 2 consecutivas (jogo termina).
- BA: O jogo continua.
- Após A:
- Terceira partida (se necessário):
- Após AB:
- ABA: Antônio vence 2 consecutivas (jogo termina).
- ABB: Benedito vence (jogo continua).
- Após BA:
- BAA: Antônio vence 2 consecutivas (jogo termina).
- BAB: Benedito vence (jogo continua).
- Após AB:
- Quarta partida (se necessário):
- Após ABB:
- ABAB: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
- ABBA: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
- Após BAB:
- BABA: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
- BABB: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
- Após ABB:
3 – Todas as Sequências Possíveis
Com base no diagrama de árvore, as sequências possíveis de ganhadores são:
- Jogo termina na 2ª partida:
- AA: Antônio vence.
- BB: Benedito vence.
- Jogo termina na 3ª partida:
- ABA: Antônio vence.
- ABB: Benedito vence.
- BAA: Antônio vence.
- BAB: Benedito vence.
- Jogo chega ao limite de 4 partidas:
- ABAB.
- ABBA.
- BABA.
- BABB.
4 – Resposta Final
As possíveis sequências de ganhadores são:
{AA, BB, ABA, ABB, BAA, BAB, ABAB, ABBA, BABA, BABB}
O total de sequências possíveis é 8, como descrito.
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