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Questão de Analise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem

Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo no qual em cada partida há um único vencedor. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores? (Sugestão: Construa o diagrama de árvore.)

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1 – Revisão do Problema

O jogo termina quando:

1. Um dos jogadores (Antônio ou Benedito) vence 2 partidas consecutivas.
2. São jogadas 4 partidas no total, sem que ninguém tenha vencido 2 partidas consecutivas.

Agora, organizaremos as sequências possíveis de ganhadores A (Antônio) e B (Benedito) em forma de um diagrama de árvore, para visualizar todas as trajetórias possíveis.

2 – Diagrama de Árvore

Explicando a Árvore…

Cada coluna do diagrama representa uma partida, com os possíveis resultados sendo A ou B.

1. Primeira partida:
   • A: Antônio vence.
   • B: Benedito vence.
2. Segunda partida:
   • Após A:
     • AA: Antônio vence 2 consecutivas (jogo termina).
     • AB: O jogo continua.
   • Após B:
     • BB: Benedito vence 2 consecutivas (jogo termina).
     • BA: O jogo continua.
3. Terceira partida (se necessário):
   • Após AB:
     • ABA: Antônio vence 2 consecutivas (jogo termina).
     • ABB: Benedito vence (jogo continua).
   • Após BA:
     • BAA: Antônio vence 2 consecutivas (jogo termina).
     • BAB: Benedito vence (jogo continua).
4. Quarta partida (se necessário):
   • Após ABB:
     • ABAB: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
     • ABBA: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
   • Após BAB:
     • BABA: O jogo chega ao limite de 4 partidas.
     • BABB: O jogo chega ao limite de 4 partidas.

3 – Todas as Sequências Possíveis

Com base no diagrama de árvore, as sequências possíveis de ganhadores são:

1. Jogo termina na 2ª partida:
   • AA: Antônio vence.
   • BB: Benedito vence.
2. Jogo termina na 3ª partida:
   • ABA: Antônio vence.
   • ABB: Benedito vence.
   • BAA: Antônio vence.
   • BAB: Benedito vence.
3. Jogo chega ao limite de 4 partidas:
   • ABAB.
   • ABBA.
   • BABA.
   • BABB.

4 – Resposta Final

As possíveis sequências de ganhadores são:

{AA, BB, ABA, ABB, BAA, BAB, ABAB, ABBA, BABA, BABB}

O total de sequências possíveis é 8, como descrito.

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