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Questão de Analise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada, ele ganha ou perde R$ 1 000,00. Começará com R$ 1 000,00 e parará de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar R$ 3000, 00, isto é, se tiver R$ 4000,00. De quantas maneiras o jogo poderá se desenrolar?
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1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Neste problema, utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem para determinar todas as possíveis formas como o jogo pode se desenrolar. O jogo possui no máximo 5 rodadas, mas pode terminar antecipadamente se o jogador:
- Alcançar R$ 4.000,00 (após ganhar R$ 3.000,00).
- Alcançar R$ 0,00 (após perder R$ 1.000,00).
Cada rodada é decidida por um evento binário:
- Vitória (V): Ganha R$ 1.000,00.
- Derrota (D): Perde R$ 1.000,00.
2 – Entendendo o Enunciado
O jogador começa com R$ 1.000,00 e tem as seguintes restrições:
- Em cada rodada, ele ganha ou perde R$ 1.000,00.
- O jogo termina antecipadamente se:
- Ele atingir R$ 4.000,00 (ganhou R$ 3.000,00).
- Ele atingir R$ 0,00 (perdeu todo o dinheiro).
- O jogo pode durar até 5 rodadas no máximo, caso nenhum dos critérios acima seja atingido antes.
O objetivo é calcular o número total de possibilidades de jogo, considerando todas as sequências de vitórias e derrotas.
3 – Cálculo
Podemos usar um diagrama de árvore para calcular todas as possibilidades de jogo. Seguem as condições em cada rodada:
Entendendo o diagrama….
- Primeira rodada:
- Vitória (V): Saldo = R$ 2.000,00.
- Derrota (D): Saldo = R$ 0,00 (jogo termina).
- Segunda rodada (após V na 1ª):
- Vitória (V): Saldo = R$ 3.000,00.
- Derrota (D): Saldo = R$ 1.000,00.
- Terceira rodada:
- Após saldo de R$ 3.000,00:
- Vitória (V): Saldo = R$ 4.000,00 (jogo termina).
- Derrota (D): Saldo = R$ 2.000,00.
- Após saldo de R$ 1.000,00:
- Vitória (V): Saldo = R$ 2.000,00.
- Derrota (D): Saldo = R$ 0,00 (jogo termina).
- Após saldo de R$ 3.000,00:
- Quarta rodada:
- Após saldo de R$ 2.000,00:
- Vitória (V): Saldo = R$ 3.000,00.
- Derrota (D): Saldo = R$ 1.000,00.
- Após saldo de R$ 2.000,00:
- Quinta rodada:
- Após saldo de R$ 3.000,00:
- Vitória (V): Saldo = R$ 4.000,00 (jogo termina).
- Derrota (D): Saldo = R$ 2.000,00.
- Após saldo de R$ 3.000,00:
Verificando o diagrama de árvore, os caminhos possíveis são:
- V, V, V: Termina com R$ 4.000,00 na 3ª rodada.
- V, V, D, V: Termina com R$ 4.000,00 na 4ª rodada.
- V, D, V, V: Termina com R$ 4.000,00 na 4ª rodada.
- V, V, D, D, V: Termina com R$ 4.000,00 na 5ª rodada.
- V, D, V, D, V: Termina com R$ 4.000,00 na 5ª rodada.
- D: Termina com R$ 0,00 na 1ª rodada.
- V, D, D: Termina com R$ 0,00 na 3ª rodada.
- V, V, D, D, D: Termina com R$ 0,00 na 5ª rodada.
- V, V, D, D, D: Termina com R$ 1.000,00 no final.
4 – Resposta
O jogo pode se desenrolar de 11 maneiras distintas, considerando as condições de término antecipado ou a duração de todas as 5 rodadas.
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