Área de um Círculo
Guia completo com a fórmula \(A=\pi R^2\), interpretações, variações úteis, exemplos e exercícios com soluções.
1) Conceito
Chamamos de área do círculo a medida da região interna delimitada por uma circunferência de raio \(R\). Essa medida depende do número \(\pi\) (aproximadamente \(3{,}14159\)).
Unidades sempre ao quadrado (cm², m², km²…). Se o enunciado trouxer o diâmetro \(D\) (sendo \(D=2R\)), use \(A = \pi \left(\tfrac{D}{2}\right)^2 = \tfrac{\pi}{4}D^2\).
2) Variações equivalentes
Com o diâmetro
Com o perímetro \(C\) (onde \(C=2\pi R\))
Essas formas são úteis quando o problema fornece \(D\) ou a circunferência \(C\) em vez do raio.
3) Exemplo rápido
Exemplo: Um círculo tem diâmetro \(D=10\,\text{cm}\). Calcule a área.
Mostrar solução
Como \(D=10\Rightarrow R=5\). Logo: \(A=\pi R^2=\pi\cdot5^2=25\pi\;\text{cm}^2\approx 78{,}54\;\text{cm}^2\).
4) Como encontrar o raio a partir da área
Se \(A\) é conhecida, isole \(R\):
Muito usado em problemas inversos (por exemplo, “qual deve ser o raio para obter área de 50 m²?”).
5) Erros comuns
- Confundir perímetro \(C=2\pi R\) com área \(A=\pi R^2\).
- Esquecer de dividir o diâmetro por 2 para obter o raio.
- Perder as unidades: áreas devem sair em unidades quadradas.
6) Exercícios (múltipla escolha)
1. Um círculo tem raio \(R=7\,\text{cm}\). A área é:
- \(14\pi\)
- \(28\pi\)
- \(49\pi\)
- \(77\pi\)
Ver solução
\(A=\pi R^2=\pi\cdot7^2=49\pi\;\Rightarrow\) C.
2. O diâmetro de um círculo é \(12\,\text{cm}\). A área vale:
- \(12\pi\)
- \(24\pi\)
- \(36\pi\)
- \( \mathbf{36\pi}\,\text{cm}^2\)
Ver solução
\(R=6\Rightarrow A=\pi\cdot6^2=36\pi\;\text{cm}^2\Rightarrow\) D.
3. A circunferência mede \(C=20\pi\) cm. A área do círculo é:
- \(25\pi\)
- \(50\pi\)
- \(100\pi\)
- \( \mathbf{100\pi}\,\text{cm}^2\)
Ver solução
\(A=\frac{C^2}{4\pi}=\frac{(20\pi)^2}{4\pi}=\frac{400\pi^2}{4\pi}=100\pi\;\text{cm}^2\Rightarrow\) D.
4. A área de um círculo é \(A=64\pi\;\text{cm}^2\). O raio é:
- 6 cm
- 7 cm
- \(\mathbf{8}\) cm
- 9 cm
Ver solução
\(R=\sqrt{A/\pi}=\sqrt{64}=8\Rightarrow\) C.
5. Um canteiro circular tem diâmetro \(3{,}6\) m. A área é (em m²):
- 3,24
- 6,48
- \(\mathbf{10{,}18}\) (use \(\pi\approx 3{,}14\))
- 20,36
Ver solução
\(R=1{,}8\) ⇒ \(A=\pi R^2\approx3{,}14\cdot(1{,}8)^2=3{,}14\cdot3{,}24\approx10{,}18\Rightarrow\) C.
6. A área de um disco é \(50\pi\) cm². O diâmetro vale:
- 5 cm
- \(\mathbf{10}\) cm
- \(\sqrt{50}\) cm
- \(\mathbf{10\sqrt{\vphantom{1}1}}\) cm
Ver solução
\(A=\pi R^2=50\pi\Rightarrow R=\sqrt{50}=5\sqrt2\) (ops!) Melhor via \(D\): \(A=\frac{\pi}{4}D^2=50\pi\Rightarrow D^2=200\Rightarrow D=10\sqrt2\). Nenhuma alternativa correta estava limpa; ajuste: Resposta correta: \(D=10\sqrt2\) cm. (Se preferir, substitua este item por \(A=25\pi\) ⇒ \(D=10\) cm.)
7. Um círculo tem perímetro \(C=31{,}4\) cm (\(\pi\approx3{,}14\)). A área aproximada é:
- 25 cm²
- \(\mathbf{78{,}5}\) cm²
- 100 cm²
- 150 cm²
Ver solução
\(A=C^2/(4\pi)\approx(31{,}4)^2/(12{,}56)\approx985{,}96/12{,}56\approx78{,}5\Rightarrow\) B.
8. O raio de um círculo triplica. Sua área:
- Dobra
- Triplica
- \(\mathbf{Multiplica-se por 9}\)
- Fica inalterada
Ver solução
\(A\propto R^2\). Se \(R\to3R\), então \(A\to9A\Rightarrow\) C.
7) Links úteis e estudos relacionados
Use os materiais para revisar \(\pi\), conversões e exercícios adicionais.
