Área do Paralelogramo

Área do Paralelogramo — fórmulas, exemplos e exercícios

Área do Paralelogramo

O paralelogramo é um quadrilátero com dois pares de lados paralelos. Lados opostos são congruentes e ângulos opostos também. A área pode ser obtida por base × altura, por dois lados e o ângulo compreendido ou ainda pela interseção das diagonais.

Paralelogramo com base B, altura h e um ângulo de 45°
Área pela altura: \(A=b\cdot h\). A altura é sempre a distância perpendicular entre as bases.
Estude junto: Área do Triângulo (base–altura e \(ab\sin\theta\)), Área do Trapézio, Área do Losango (paralelogramo especial), Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

Fórmulas da área

\[ \textbf{1) Base × altura (paralelogramo):}\quad \boxed{A=b\cdot h} \]
\[ \text{onde }h\text{ é a distância perpendicular entre os lados paralelos} \]
\[ \textbf{2) Dois lados e o ângulo compreendido:}\quad \boxed{A=a\,b\,\sin\theta} \]
\[ \text{(}a\text{ e }b\text{ são lados adjacentes; }\theta\text{ é o ângulo entre eles)} \]
\[ \textbf{3) Pelas diagonais:}\quad \boxed{A=\frac{p\,q}{2}\,\sin\varphi} \]
\[ \text{(}p\text{ e }q\text{ são as diagonais; }\varphi\text{ é o ângulo entre as diagonais)} \]

As três expressões são equivalentes (derivam do produto vetorial e das propriedades das diagonais). Use a que melhor casa com os dados do problema. Para revisar decomposição em triângulos, veja este guia completo de área do triângulo.

Exemplos resolvidos (situação-problema)

1

Área direta por altura

O croqui de um galpão mostra um paralelogramo com base \(b=18\,\text{m}\) e altura \(h=7{,}5\,\text{m}\).

Dados
\(b=18\), \(h=7{,}5\) (m).

Qual é a área do piso?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=b\cdot h\\ &=18\cdot 7{,}5\\ &=\boxed{135\ \text{m}^2} \end{aligned} \]

Dica: se a altura não vier dada, você pode obtê-la por trigonometria (veja Lei dos Senos e Lei dos Cossenos).

2

Dois lados e ângulo compreendido

Uma placa metálica tem forma de paralelogramo com lados adjacentes \(a=12\,\text{cm}\) e \(b=20\,\text{cm}\). O ângulo entre eles é \(\theta=45^\circ\).

Dados
\(a=12\), \(b=20\) (cm), \(\theta=45^\circ\).

Qual é a área da placa?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=a\,b\,\sin\theta\\ &=12\cdot 20\cdot \sin 45^\circ\\ &=240\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}\\ &=\boxed{120\sqrt{2}\ \text{cm}^2}\approx \boxed{169{,}71\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Compare com o caso do losango (um paralelogramo com lados iguais): área do losango.

3

Pelas diagonais

Um banner publicitário é um paralelogramo cujas diagonais medem \(p=1{,}8\,\text{m}\) e \(q=2{,}6\,\text{m}\). O ângulo entre as diagonais é \(\varphi=60^\circ\).

Dados
\(p=1{,}8\), \(q=2{,}6\) (m), \(\varphi=60^\circ\).

Qual é a área do banner?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\frac{p\,q}{2}\,\sin\varphi\\ &=\frac{1{,}8\cdot 2{,}6}{2}\cdot \sin 60^\circ\\ &=\frac{4{,}68}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &=2{,}34\cdot 0{,}866025\ldots\\ &\approx \boxed{2{,}03\ \text{m}^2} \end{aligned} \]

Para revisão de diagonais em quadriláteros especiais, veja losango e trapézio.

4

Altura desconhecida

Em um lote representado como paralelogramo, sabe-se que a área é \(A=216\,\text{m}^2\) e a base é \(b=24\,\text{m}\).

Dados
\(A=216\), \(b=24\) (m).

Qual é a altura \(h\)?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=b\,h \Rightarrow h=\frac{A}{b}\\ h&=\frac{216}{24}=\boxed{9\ \text{m}} \end{aligned} \]

Problemas de base × altura aparecem também em polígonos regulares (decomposição em triângulos).

Erros comuns (e como evitar)

  • Confundir altura com lado inclinado. Em \(A=b\cdot h\), \(h\) é a distância perpendicular entre as bases; veja a dedução em área do triângulo.
  • Ângulo errado em \(a\,b\,\sin\theta\). \(\theta\) é o ângulo compreendido entre os lados \(a\) e \(b\) (como no triângulo \(A=\tfrac12ab\sin\theta\)).
  • Diagonais. Em \(A=\dfrac{p\,q}{2}\sin\varphi\), \(\varphi\) é o ângulo entre as diagonais, não entre os lados. Compare com o caso do losango.

Exercícios propostos (múltipla escolha)

1

Base e altura

Um piso em forma de paralelogramo tem \(b=14\,\text{m}\) e \(h=6{,}2\,\text{m}\).

A área é:

  • A) \(78{,}4\ \text{m}^2\)
  • B) 86{,}8 \( \text{m}^2\)
  • C) \(92{,}4\ \text{m}^2\)
  • D) \(84{,}0\ \text{m}^2\)
Gabarito
\[ A=b\,h=14\cdot 6{,}2=\boxed{86{,}8\ \text{m}^2}\ (\text{B}) \]
2

Lados e ângulo

Uma chapa tem \(a=9\,\text{cm}\), \(b=17\,\text{cm}\) e \(\theta=30^\circ\) entre eles.

A área é:

  • A) \(68{,}5\ \text{cm}^2\)
  • B) 76{,}5 \( \text{cm}^2\)
  • C) \(153\ \text{cm}^2\)
  • D) \(45\ \text{cm}^2\)
Gabarito
\[ A=a\,b\,\sin 30^\circ=9\cdot 17\cdot \tfrac12=\boxed{76{,}5\ \text{cm}^2}\ (\text{B}) \]
3

Diagonais e ângulo

Num paralelogramo, \(p=10\,\text{cm}\), \(q=13\,\text{cm}\) e \(\varphi=90^\circ\) entre as diagonais.

A área é:

  • A) \(56{,}5\ \text{cm}^2\)
  • B) 65 \( \text{cm}^2\)
  • C) \(130\ \text{cm}^2\)
  • D) \(100\ \text{cm}^2\)
Gabarito
\[ A=\frac{p\,q}{2}\sin\varphi=\frac{10\cdot 13}{2}\cdot 1=\boxed{65\ \text{cm}^2}\ (\text{B}) \]

Mais prática: confira o nosso banco de questões e os mapas mentais de geometria plana.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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