Área do Paralelogramo
O paralelogramo é um quadrilátero com dois pares de lados paralelos. Lados opostos são congruentes e ângulos opostos também. A área pode ser obtida por base × altura, por dois lados e o ângulo compreendido ou ainda pela interseção das diagonais.
Fórmulas da área
As três expressões são equivalentes (derivam do produto vetorial e das propriedades das diagonais). Use a que melhor casa com os dados do problema. Para revisar decomposição em triângulos, veja este guia completo de área do triângulo.
Exemplos resolvidos (situação-problema)
Área direta por altura
O croqui de um galpão mostra um paralelogramo com base \(b=18\,\text{m}\) e altura \(h=7{,}5\,\text{m}\).
- Dados
- \(b=18\), \(h=7{,}5\) (m).
Qual é a área do piso?
Ver solução
Dica: se a altura não vier dada, você pode obtê-la por trigonometria (veja Lei dos Senos e Lei dos Cossenos).
Dois lados e ângulo compreendido
Uma placa metálica tem forma de paralelogramo com lados adjacentes \(a=12\,\text{cm}\) e \(b=20\,\text{cm}\). O ângulo entre eles é \(\theta=45^\circ\).
- Dados
- \(a=12\), \(b=20\) (cm), \(\theta=45^\circ\).
Qual é a área da placa?
Ver solução
Compare com o caso do losango (um paralelogramo com lados iguais): área do losango.
Pelas diagonais
Um banner publicitário é um paralelogramo cujas diagonais medem \(p=1{,}8\,\text{m}\) e \(q=2{,}6\,\text{m}\). O ângulo entre as diagonais é \(\varphi=60^\circ\).
- Dados
- \(p=1{,}8\), \(q=2{,}6\) (m), \(\varphi=60^\circ\).
Qual é a área do banner?
Ver solução
Para revisão de diagonais em quadriláteros especiais, veja losango e trapézio.
Altura desconhecida
Em um lote representado como paralelogramo, sabe-se que a área é \(A=216\,\text{m}^2\) e a base é \(b=24\,\text{m}\).
- Dados
- \(A=216\), \(b=24\) (m).
Qual é a altura \(h\)?
Ver solução
Problemas de base × altura aparecem também em polígonos regulares (decomposição em triângulos).
Erros comuns (e como evitar)
- Confundir altura com lado inclinado. Em \(A=b\cdot h\), \(h\) é a distância perpendicular entre as bases; veja a dedução em área do triângulo.
- Ângulo errado em \(a\,b\,\sin\theta\). \(\theta\) é o ângulo compreendido entre os lados \(a\) e \(b\) (como no triângulo \(A=\tfrac12ab\sin\theta\)).
- Diagonais. Em \(A=\dfrac{p\,q}{2}\sin\varphi\), \(\varphi\) é o ângulo entre as diagonais, não entre os lados. Compare com o caso do losango.
Exercícios propostos (múltipla escolha)
Base e altura
Um piso em forma de paralelogramo tem \(b=14\,\text{m}\) e \(h=6{,}2\,\text{m}\).
A área é:
Gabarito
Lados e ângulo
Uma chapa tem \(a=9\,\text{cm}\), \(b=17\,\text{cm}\) e \(\theta=30^\circ\) entre eles.
A área é:
Gabarito
Diagonais e ângulo
Num paralelogramo, \(p=10\,\text{cm}\), \(q=13\,\text{cm}\) e \(\varphi=90^\circ\) entre as diagonais.
A área é:
Gabarito
Mais prática: confira o nosso banco de questões e os mapas mentais de geometria plana.
Continue estudando
• Área do Triângulo — dedução do \(ab\sin\theta\) e relação com paralelogramos.
• Área do Trapézio e Área do Losango — quadriláteros irmãos.
• Área de Polígonos Regulares — decomposição em triângulos/paralelogramos.
• Triângulos: tipos e propriedades — base para resolver alturas e ângulos.
