O Arranjo com Repetição é um conceito fundamental da Análise Combinatória. Ele é utilizado quando escolhemos p posições a partir de n elementos, permitindo que um mesmo elemento seja usado mais de uma vez.
Esse tipo de contagem aparece o tempo todo em problemas de senhas, códigos, sequências, placas e situações em que a repetição é permitida.
O que é Arranjo com Repetição?
Em um arranjo com repetição, temos:
- n → número total de elementos disponíveis;
- p → número de posições a serem preenchidas;
- a ordem importa;
- a repetição é permitida.
Esse modelo é uma aplicação direta do Princípio Fundamental da Contagem : se cada posição tem n opções, e são p posições, então multiplicamos tudo.
Quando usar Arranjo com Repetição?
Use arranjo com repetição quando:
- a ordem altera o resultado;
- os elementos podem se repetir;
- cada posição possui sempre o mesmo número de opções.
Se a repetição não for permitida, geralmente o correto é usar arranjo simples. Quando a ordem não importa, normalmente entramos em combinação simples.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: Quantas senhas de 3 dígitos podem ser formadas usando os números \(\{1,2,3\}\) com repetição?
Ver solução
Cada uma das 3 posições tem 3 opções:
\[ A_{3,3} = 3^3 = 27 \]Resposta: \(\boxed{27}\).
Exemplo 2: Quantos códigos de 4 letras podem ser formados com \(\{A,B,C\}\), permitindo repetição?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{81}\).
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Quantas sequências de 5 posições podem ser formadas com os símbolos \(\{X,Y\}\)?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{32}\).
Exercício 2
Quantos códigos de 6 algarismos podem ser formados usando os dígitos de 0 a 9 (com repetição)?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{1.000.000}\).
Exercício 3
Quantas placas podem ser formadas com 3 letras do alfabeto (26 letras), permitindo repetição?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{17.576}\).
Lista de exercícios (da imagem)
Observação importante: como o tema aqui é contagem com repetição, nas questões em que o enunciado não proíbe repetição, eu considero repetição permitida. Se você quiser a versão “sem repetição”, é só me avisar que eu adapto tudo.
1) Números de 3 algarismos com os dígitos 2, 3, 5, 8 e 9 (itens a–e)
Enunciado: Considere os números de 3 algarismos formados com os dígitos 2, 3, 5, 8 e 9.
- (a) Quantos são estes números?
- (b) Quantos são menores do que 800?
- (c) Quantos são múltiplos de 5?
- (d) Quantos são pares?
- (e) Quantos são ímpares?
Solução (com repetição permitida):
(a) 3 posições, 5 escolhas em cada uma:
\[ 5^3 = 125 \](b) Para ser menor que 800, a casa das centenas pode ser \(2,3\) ou \(5\) (3 escolhas). As outras duas casas: 5 escolhas cada:
\[ 3\cdot 5\cdot 5 = 75 \](c) Múltiplo de 5 termina em 5. Fixando a unidade = 5, sobram 2 casas com 5 escolhas:
\[ 5^2 = 25 \](d) Par termina em \(2\) ou \(8\) (2 escolhas). Centenas e dezenas: 5 escolhas cada:
\[ 2\cdot 5\cdot 5 = 50 \](e) Ímpar termina em \(3,5\) ou \(9\) (3 escolhas). Centenas e dezenas: 5 escolhas cada:
\[ 3\cdot 5\cdot 5 = 75 \]Respostas: (a) \(\boxed{125}\), (b) \(\boxed{75}\), (c) \(\boxed{25}\), (d) \(\boxed{50}\), (e) \(\boxed{75}\).
2) Palavras de 5 letras (26 letras) em que A aparece, mas não é a letra inicial
Enunciado: Quantas são as palavras de 5 letras de um alfabeto de 26 letras nas quais a letra A figura, mas não é a letra inicial?
Solução (com repetição permitida):
A primeira letra não pode ser A \(\Rightarrow 25\) opções. Nas outras 4 posições (2ª a 5ª), queremos pelo menos um A.
Total de sequências de 4 letras: \(26^4\). Sequências sem A nessas 4 posições: \(25^4\). Então, com pelo menos um A: \(26^4 – 25^4\).
\[ 25\cdot(26^4 – 25^4) \]Resposta: \(\boxed{25(26^4-25^4)}\).
3) Números de 3 e 4 algarismos maiores que 300 com os dígitos 0, 1, 3, 5 e 7
Enunciado: Quantos números de 3 e 4 algarismos maiores do que 300 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 5 e 7?
Solução (com repetição permitida):
Parte A: números de 3 algarismos > 300
A centena pode ser \(3,5,7\). Se for 5 ou 7: dezenas e unidades têm 5 opções cada \(\Rightarrow 2\cdot 5^2 = 50\). Se for 3: temos \(5^2=25\) combinações, mas excluímos \(300\) (que não é > 300 e é possível como 3-0-0), então fica \(25-1=24\).
\[ 50 + 24 = 74 \]Parte B: números de 4 algarismos > 300
Todo número de 4 algarismos é > 300. O primeiro algarismo não pode ser 0: escolhas \(\{1,3,5,7\}\Rightarrow 4\). As outras 3 posições: 5 escolhas cada.
\[ 4\cdot 5^3 = 4\cdot 125 = 500 \]Total:
\[ 74 + 500 = 574 \]Resposta: \(\boxed{574}\).
4) Números de 5 algarismos (base 10): com o algarismo 2 e sem o algarismo 2
Enunciado: Quantos são os números de 5 algarismos na base 10:
- (a) nos quais o algarismo 2 figura?
- (b) nos quais o algarismo 2 não figura?
Solução:
Números de 5 algarismos vão de 10000 a 99999. Total: primeira casa tem 9 opções (1 a 9) e as outras 4 têm 10 opções:
\[ 9\cdot 10^4 = 90000 \](b) Sem o dígito 2: primeira casa (1 a 9, exceto 2) \(\Rightarrow 8\) opções; demais casas (0 a 9, exceto 2) \(\Rightarrow 9\) opções:
\[ 8\cdot 9^4 = 8\cdot 6561 = 52488 \](a) Com o dígito 2: total menos os que não têm 2:
\[ 90000 – 52488 = 37512 \]Respostas: (a) \(\boxed{37512}\) e (b) \(\boxed{52488}\).
5) Dígitos 1 a 9: 3 algarismos pares e 4 algarismos ímpares (repetição permitida para pares)
Enunciado: Com os algarismos de 1 a 9 quantos números constituídos de 3 algarismos pares e 4 algarismos ímpares podem ser formados se é permitida a repetição dos algarismos pares?
Interpretação usada: os dígitos pares podem repetir; os dígitos ímpares não repetem (essa é a leitura mais comum quando a questão destaca “repetição dos pares”).
Conjuntos:
- Pares: \(\{2,4,6,8\}\) → 4 dígitos
- Ímpares: \(\{1,3,5,7,9\}\) → 5 dígitos
A) Números de 3 algarismos pares
Unidade deve ser par: 4 opções. Centena e dezena podem ser 1 a 9, mas se ambos forem ímpares, não podem repetir o mesmo ímpar.
Contando (centena, dezena): – centena par (4 opções) → dezena tem 9 opções – centena ímpar (5 opções) → dezena tem 8 opções (4 pares + 4 ímpares diferentes do usado)
\[ (4\cdot 9 + 5\cdot 8)\cdot 4 = (36 + 40)\cdot 4 = 76\cdot 4 = 304 \]B) Números de 4 algarismos ímpares
Primeiro 3 algarismos podem ser pares (com repetição) ou ímpares (sem repetir). A unidade deve ser ímpar e também não pode repetir ímpar já usado.
Contamos pelos casos (quantos ímpares aparecem nas 3 primeiras posições):
k = 0 ímpares: \(4^3\) maneiras e unidade tem 5 ímpares:
\[ 4^3\cdot 5 = 64\cdot 5 = 320 \]k = 1 ímpar: escolher posição (3), escolher ímpar (5), outras duas posições pares (4 cada), unidade com 4 ímpares restantes:
\[ (3\cdot 5\cdot 4^2)\cdot 4 = (3\cdot 5\cdot 16)\cdot 4 = 240\cdot 4 = 960 \]k = 2 ímpares: escolher 2 posições (3), escolher ímpares distintos ordenados (5·4), 1 posição par (4), unidade com 3 ímpares restantes:
\[ (3\cdot (5\cdot 4)\cdot 4)\cdot 3 = (3\cdot 20\cdot 4)\cdot 3 = 240\cdot 3 = 720 \]k = 3 ímpares: três posições com ímpares distintos (5·4·3), unidade com 2 ímpares restantes:
\[ (5\cdot 4\cdot 3)\cdot 2 = 60\cdot 2 = 120 \]Total (4 algarismos ímpares):
\[ 320 + 960 + 720 + 120 = 2120 \]Respostas: 3 algarismos pares \(\boxed{304}\) e 4 algarismos ímpares \(\boxed{2120}\).
Se você quiser a versão onde “ímpares também podem repetir”, eu recalculo e deixo a solução equivalente em 2 linhas.
6) Com as letras a, b, c, d, e: anagramas de 3 letras (imagem corta as condições)
Enunciado (como aparece): Com as 5 letras a, b, c, d, e, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados se:
A imagem enviada corta as condições após o “se:”. Cole aqui as alternativas (ex.: “sem repetição”, “com repetição”, “começando por vogal”, etc.) que eu completo a contagem e coloco as soluções em toggle.
Base (caso “sem repetição”):
\[ A_{5,3} = 5\cdot 4\cdot 3 = 60 \]Continue seus estudos com o Matemática Hoje:
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