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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
Com os algarismos 1, 2, 3, …, 9, quantos números de quatro algarismos existem, em que pelo menos dois algarismos são iguais?
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1 – Análise Combinatória – Arranjo
Neste problema, queremos calcular o número total de números de quatro algarismos formados pelos dígitos {1, 2, 3, … 9}, considerando a condição de que pelo menos dois algarismos sejam iguais. Para isso, utilizamos o método do complemento.
2 – Entendendo o enunciado
- O total de números de 4 algarismos é calculado como o número de arranjos com repetição dos 9 algarismos.
- O número de números de 4 algarismos com todos os algarismos distintos é dado pelo arranjo simples dos 9 algarismos tomados 4 a 4.
- Para obter o total de números com pelo menos dois algarismos iguais, subtraímos o total de números distintos do total geral.
3 – Cálculo
3.1 Total de números possíveis (Arranjo com repetição):
A fórmula do arranjo com repetição é:
Substituindo n = 9 (número de dígitos disponíveis) e k = 4 (número de posições):
Acom repetição(9, 4) = 94 = 6561
3.2 Total de números com todos os algarismos distintos (Arranjo simples):
A fórmula do arranjo simples é:
Substituindo n = 9 e k = 4:
Cancelando 5!:
A(9, 4) = 9×8×7×6 = 3024
3.3 Total com pelo menos dois algarismos iguais:
Subtraímos o total de números distintos do total geral: T
Total com repetição = 6561 – 3024 = 3537
4 – Resposta
O número total de números de 4 algarismos em que pelo menos dois algarismos são iguais é 3537.
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