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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetição, pode-se escrever x números maiores que 2500. Qual é o valor de x?
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1 – Análise Combinatória – Arranjo Simples
Neste problema, queremos determinar o total de números maiores que 2500 que podem ser formados utilizando os algarismos {1, 2, 3, 4, 5}, sem repetição, considerando números de 4 ou 5 algarismos.
2 – Entendendo o enunciado
- Caso I: Números de 4 algarismos
Para que um número de 4 algarismos seja maior que 25002500:- O primeiro dígito (milhar) deve ser 2, 3, 4, ou 5
- Dependendo do valor do primeiro dígito, calculamos as permutações possíveis para os dígitos restantes.
- Caso II: Números de 5 algarismos
Qualquer número formado com os 5 dígitos será maior que 2500, então consideramos todas as permutações possíveis dos 5 dígitos.
3 – Cálculo
Caso I: Números de 4 algarismos
Primeiro dígito = 2:
O segundo dígito deve ser 5 para que o número seja maior que 2500. Os dois dígitos restantes são arranjados:
A(3, 2) = 3×2 = 6 números
Primeiro dígito = 3, 4, ou 5:
Os 3 dígitos restantes são arranjados nas 3 posições:
A(4,3) = 4×3×2 = 24 números por cada caso
Total para 4 algarismos:
6 + 24 + 24 + 24 = 78 números
Caso II: Números de 5 algarismos
Qualquer permutação dos 5 dígitos {1, 2, 3, 4, 5} é válida, pois todos os números são maiores que 2500:
P(5) = 5! = 5×4×3×2×1 = 120
Total geral:
Somamos os números dos dois casos:
78+120=19878 + 120 = 198
4 – Resposta
O total de números maiores que 2500 formados com os dígitos {1, 2, 3, 4, 5} é 198.
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