Depois de estudar Arranjos Simples , em que escolhemos \(k\) elementos distintos dentre \(n\), sem repetição e com ordem importante, surge uma variação muito comum em provas: os arranjos com repetição.
Eles aparecem em situações como:
- formação de senhas em que um mesmo dígito pode se repetir;
- códigos com letras e números podendo repetir símbolos;
- combinações de sabores ou itens em que é permitido repetir escolhas.
Neste artigo você vai ver:
- o que são arranjos com repetição;
- a fórmula geral \(n^k\);
- como relacionar com arranjos simples;
- exemplos resolvidos passo a passo;
- lista de exercícios com soluções em abre e fecha.
Conecte com sua base de contagem
Antes de mergulhar em arranjos com repetição, é importante dominar bem a ideia de arranjos simples. Se ainda houver dúvida, vale revisar: Arranjos Simples – Fórmula e Exemplos .
O que são arranjos com repetição?
Em termos simples, um arranjo com repetição ocorre quando:
- temos um conjunto com \(n\) elementos distintos;
- formamos sequências ordenadas com \(k\) posições;
- podemos repetir elementos nas posições;
- a ordem importa (trocar a ordem muda o arranjo).
Dados \(n\) elementos distintos, o número de sequências ordenadas de comprimento \(k\), em que cada posição pode ser ocupada por qualquer um dos \(n\) elementos (permitindo repetições), é chamado de arranjo com repetição de \(n\) elementos tomados \(k\) a \(k\).
O número total desses arranjos é:
\[ A_c(n,k) = n^k \]
Em palavras: em cada uma das \(k\) posições há \(n\) escolhas possíveis, independentes, então multiplicamos \(n\) por ele mesmo \(k\) vezes.
Arranjos simples x Arranjos com repetição
A diferença entre arranjos simples (sem repetição) e arranjos com repetição aparece em duas perguntas-chave:
- Posso repetir elementos?
- A ordem importa?
Em resumo:
-
Arranjos simples
– ordem importa;
– não há repetição;
– fórmula: \[ A(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \] -
Arranjos com repetição
– ordem importa;
– pode haver repetição;
– fórmula: \[ A_c(n,k) = n^k \]
A escolha entre um e outro é fundamental para resolver corretamente as questões de Análise Combinatória e de Probabilidade em provas.
Exemplos resolvidos – Arranjos com repetição
Temos 10 algarismos possíveis (0 a 9) para cada posição da senha, e podemos repetir algarismos.
Logo, \(n = 10\) (opções em cada posição) e \(k = 3\) (3 posições).
Sendo um arranjo com repetição:
\[ A_c(10,3) = 10^3 = 1000 \]
Portanto, existem 1000 senhas diferentes possíveis.
Para as duas primeiras posições (letras):
- cada posição pode ser A, B, C ou D → 4 possibilidades;
- repetição é permitida.
Logo, letras: \(4^2 = 16\) arranjos com repetição.
Para a terceira posição (algarismo de 0 a 9), temos:
10 possibilidades, com repetição permitida.
Pelo princípio fundamental da contagem:
\[ \text{Total de códigos} = 4^2 \cdot 10 = 16 \cdot 10 = 160 \]
Existem, portanto, 160 códigos diferentes.
Temos 5 sabores possíveis para cada uma das 3 posições (bolas), com repetição permitida e ordem importante.
Logo, \(n = 5\) e \(k = 3\):
\[ A_c(5,3) = 5^3 = 125 \]
Portanto, o copo pode ser montado de 125 maneiras diferentes.
Lista de exercícios – Arranjos com repetição
Resolva os exercícios a seguir aplicando a fórmula \(n^k\) e a ideia de contagem por etapas, depois confira as soluções no sistema de abre e fecha.
Uma senha de celular é formada por 4 algarismos, de 0 a 9, com repetição permitida. Quantas senhas diferentes podem ser criadas?
Cada uma das 4 posições pode ser ocupada por qualquer um dos 10 algarismos (0 a 9), com repetição permitida.
Logo:
\[ A_c(10,4) = 10^4 = 10000 \]
Existem 10000 senhas possíveis.
Um código promocional é formado por 3 letras (A, B, C, D, E), com repetição permitida. Quantos códigos distintos podem existir?
Há 5 letras disponíveis e queremos formar sequências de 3 letras, com repetição.
\[ A_c(5,3) = 5^3 = 125 \]
Portanto, existem 125 códigos distintos.
Uma fechadura eletrônica utiliza um código de 2 letras (entre A, B, C) seguidas de 2 algarismos (entre 0 e 9), com repetições permitidas em todas as posições. Quantos códigos diferentes podem ser formados?
Para as 2 letras:
- cada posição pode ser A, B ou C → 3 possibilidades;
- repetição permitida → \(3^2\) formas.
Para os 2 algarismos:
- cada posição pode ser 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 → 10 possibilidades;
- repetição permitida → \(10^2\) formas.
Pelo princípio fundamental da contagem:
\[ \text{Total} = 3^2 \cdot 10^2 = 9 \cdot 100 = 900 \]
Existem 900 códigos possíveis.
Uma loja oferece 4 tipos de adesivos diferentes. Um cliente pode montar um kit com 3 adesivos numa sequência, e ele pode escolher repetindo tipos (por exemplo, tipo 2, tipo 2, tipo 4). De quantas maneiras diferentes o kit pode ser montado, considerando a ordem dos adesivos?
Cada uma das 3 posições (adesivos na sequência) pode ser ocupada por qualquer um dos 4 tipos, com repetição.
Logo:
\[ A_c(4,3) = 4^3 = 64 \]
Portanto, o kit pode ser montado de 64 maneiras diferentes.
Em um sistema, a senha é formada por 5 caracteres, onde cada caractere pode ser qualquer uma das letras A, B, C ou D. As letras podem se repetir e a ordem importa. Quantas senhas diferentes são possíveis?
Temos 4 letras possíveis (A, B, C, D) para cada uma das 5 posições, com repetição permitida.
\[ A_c(4,5) = 4^5 = 1024 \]
Logo, existem 1024 senhas diferentes.
Arranjos com repetição no contexto da Análise Combinatória
Os arranjos com repetição completam uma parte importante da Análise Combinatória, especialmente para problemas de senhas, códigos, experimentos com reposição e situações em que é possível “escolher o mesmo item mais de uma vez”.
Para consolidar o conteúdo, é interessante revisar:
- os arranjos simples , em que não há repetição;
- as permutações simples e com repetição, para quando usamos todos os elementos;
- e, em seguida, avançar para combinações, quando a ordem não importa.
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