Guia prático
Aumento e Desconto Percentual
Como calcular, compor taxas sucessivas, reverter quedas e evitar armadilhas (pontos percentuais × variação percentual).
Precisa revisar a ideia de percentual? Veja Porcentagem e Porcentagem simples. Para compor várias taxas, consulte Variação percentual. Em contas com frações e ordem de operações: Frações e Expressões numéricas.
Definição de variação percentual
Definição
\[
\Delta\%=\frac{\text{Novo}-\text{Antigo}}{\text{Antigo}}\cdot100\%.
\]
Sinal positivo = aumento; negativo = desconto/queda.
Fórmulas-chave (com leitura visual)
Fator multiplicativo
\[
\text{Novo}=\text{Antigo}\cdot(1+t),\qquad t=\frac{\Delta\%}{100}.
\]
Ex.: aumento de 12% → fator \(1{,}12\);
desconto de 30% → fator \(0{,}70\).
Taxas sucessivas (composição)
Fator total: \((1+t_1)(1+t_2)\cdots(1+t_n)\)
Variação total: \(\Delta\%=(\text{Fator total}-1)\cdot100\%\)
Reverter um desconto
\[
\text{Queda } d \Rightarrow \text{Aumento necessário } r=\frac{1}{1-d}-1.
\]
Ex.: cai 20% → precisa subir \( \tfrac1{0{,}8}-1=25\% \).
Promoções “leve \(N\) pague \(M\)”
\[
\text{Fator efetivo}=\frac{M}{N},\qquad \text{Desconto}=1-\frac{M}{N}.
\]
Ex.: leve 3 pague 2 → fator \( \tfrac23\) → desconto \(33{,}33\% \).
Não some taxas! +25% seguido de −25% não dá 0%. O fator é \(1{,}25\cdot0{,}75=0{,}9375\) (queda de 6,25%).
Veja variação percentual.
Exemplos passo a passo
- Desconto de 12% em R$ 250.
Ver solução
\( \text{Final}=250\cdot(1-0{,}12)=250\cdot0{,}88=220 \).
Revisar: porcentagem simples. - Aumento de 7% em salário de R$ 1.800.
Ver solução
\( \text{Novo}=1\,800\cdot1{,}07=1\,926 \).
Fundamentos: porcentagem. - +10% e depois +5% sobre R$ 600 (taxas sucessivas).
Ver solução
Fator \(=1{,}10\cdot1{,}05=1{,}155\Rightarrow \text{Final}=600\cdot1{,}155=693\).
Composição: variação percentual.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e depois confira no gabarito. Quando necessário, use expressões numéricas e frações.
- Aumente 240 em 12%.
- Desconto de 18% em 320.
- Sobre 200, aplique −25% e depois +25%. Qual o valor final e a variação total?
- Após +15%, qual desconto \(x\%\) devolve ao valor original?
- De 500 para 440: qual foi o desconto percentual?
- Preço 80 sofre dois descontos: 10% e 5%. Valor final e variação?
- Imposto de 7,5% sobre base 1.280. Calcule o imposto e o total.
- Promoção “leve 3 pague 2” equivale a qual desconto percentual?
- Aumentos de 8% por 6 meses (compostos). Qual a variação total?
- Conta de R$ 156,80 com gorjeta de 12%. Valor da gorjeta e total a pagar?
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- \(240\cdot1{,}12=268{,}80\). Revisar: porcentagem simples.
- \(320\cdot(1-0{,}18)=320\cdot0{,}82=262{,}40\). Veja: porcentagem.
-
Fator \(=0{,}75\cdot1{,}25=0{,}9375\Rightarrow \text{Final}=200\cdot0{,}9375=187{,}50\).
\(\Delta\%=0{,}9375-1=-6{,}25\%\). Composição: variação percentual. - \((1+0{,}15)(1-x)=1 \Rightarrow 1-x=\tfrac1{1{,}15}\Rightarrow x\approx 13{,}04\%\).
- \( \Delta\%=\dfrac{440-500}{500}\cdot100\%=-12\% \Rightarrow \) desconto de 12%.
-
Fator \(=0{,}90\cdot0{,}95=0{,}855\Rightarrow \text{Final}=80\cdot0{,}855=68{,}40\).
\(\Delta\%=0{,}855-1=-14{,}5\%\). - Imposto \(=1\,280\cdot0{,}075=96\). Total \(=1\,280+96=1\,376\).
- Desconto \(=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}=33{,}33\%\). Dica: trate como frações.
- \(1{,}08^6\approx 1{,}586874\Rightarrow \Delta\%\approx 58{,}69\%\).
-
Gorjeta \(=156{,}80\cdot0{,}12=18{,}816\approx 18{,}82\).
Total \(=156{,}80+18{,}82=175{,}62\).
🔗 Leia também
📝 Quiz — Aumento e Desconto Percentual
Marque a alternativa correta e clique em Conferir (ou Corrigir tudo). As explicações trazem links para revisar a teoria.
- Desconto de 15% em R$ 200: valor final?\(200\cdot(1-0{,}15)=200\cdot0{,}85=170\). Revisar cálculo direto em porcentagem simples.
- Aumento de 12% sobre 250: novo valor?\(250\cdot1{,}12=280\). Fundamentos: porcentagem.
- Aplicar +10% e depois −20%: variação total?Fator \(=1{,}10\cdot0{,}80=0{,}88\Rightarrow \Delta\%=0{,}88-1=-12\%\). Composição: variação percentual.
- Desconto de 30% e depois aumento de 30%: variação total?Fator \(=0{,}70\cdot1{,}30=0{,}91\Rightarrow \Delta\%=-9\%\). Não some taxas! Veja variação percentual.
- Após +25%, qual desconto \(x\%\) devolve ao original?\((1+0{,}25)(1-x)=1\Rightarrow 1-x=\tfrac1{1{,}25}=0{,}8\Rightarrow x=20\%\). Mais em reversão de variações.
- De 500 para 440: desconto percentual?\(\Delta\%=\dfrac{440-500}{500}\cdot100\%=-12\%\). Conceito: porcentagem.
- Promoção “leve 4 pague 3” equivale a desconto de…Fator \(=\tfrac{3}{4}\Rightarrow \) desconto \(=1-\tfrac34=\tfrac14=25\%\). Dica: trate como frações.
- Descontos de 10% e 5% sobre R$ 80: valor final?Fator \(=0{,}90\cdot0{,}95=0{,}855\Rightarrow 80\cdot0{,}855=68{,}40\). Composição: variação percentual.
- A taxa vai de 8% para 10%: assinale a correta.Pontos percentuais: \(10-8=2\ \text{p.p.}\). Variação relativa: \(\dfrac{2}{8}\cdot100\%=25\%\). Leia: porcentagem.
- Aplicar +12% e depois +8%: variação total?Fator \(=1{,}12\cdot1{,}08=1{,}2096\Rightarrow \Delta\%=20{,}96\%\). Veja: taxas sucessivas.
