Conteúdo: Função afim – sistema com condições e equação auxiliar
Questão 29. (UFC-CE) Seja \( f \) uma função real, de variável real, definida por:
$$ f(x) = ax + b $$
Sabendo que:
- \( f(1) = -9 \)
- \( b^2 – a^2 = 54 \)
Calcule o valor de \( a – b \).
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Substituir \( f(1) = -9 \) na função:
Sabemos que \( f(x) = ax + b \), então:
$$ f(1) = a(1) + b = -9 \Rightarrow a + b = -9 \quad \text{(1)} $$
🔎 Etapa 2 – Usar a equação adicional:
Temos também:
$$ b^2 – a^2 = 54 \quad \text{(2)} $$
Da equação (1): \( b = -9 – a \)
🔎 Etapa 3 – Substituir na equação (2):
Substituímos \( b \) em (2):
$$ (-9 – a)^2 – a^2 = 54 $$
Expansão do quadrado:
$$ (81 + 18a + a^2) – a^2 = 54 $$
Eliminando \( a^2 \):
$$ 81 + 18a = 54 $$
$$ 18a = -27 \Rightarrow a = -\dfrac{3}{2} $$
Substituindo em (1):
$$ b = -9 – (-\dfrac{3}{2}) = -9 + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{15}{2} $$
🔎 Etapa 4 – Calcular \( a – b \):
$$ a – b = -\dfrac{3}{2} – (-\dfrac{15}{2}) = \dfrac{12}{2} = \boxed{6} $$
✅ Conclusão:
- Valor de \( a \): \( -\dfrac{3}{2} \)
- Valor de \( b \): \( -\dfrac{15}{2} \)
- Resultado final: \( a – b = \boxed{6} \)
