Classificação de Triângulos quanto aos Ângulos

Classificação angular: ΔDEF acutângulo, ΔABC retângulo e ΔRST obtusângulo.

Visão geral (com figuras)

ΔDEF acutângulo: todos os ângulos menores que 90°. — ΔDEF acutângulo: \( \angle D,\angle E,\angle F<90^\circ \).

ΔABC retângulo: ângulo de 90° em A. — ΔABC retângulo: \( \angle A=90^\circ \).

ΔRST obtusângulo: ângulo maior que 90° em S. — ΔRST obtusângulo: \( \angle S>90^\circ \).

O maior ângulo está sempre oposto ao maior lado — regra útil para classificar rapidamente.

Como classificar: por ângulos e por lados (Pitágoras ao contrário)

Para qualquer triângulo com lados \(a,b,c\) (sendo \(c\) o maior) e ângulo oposto \(C\):

Acutângulo ⇔ \(C<90^\circ\) ⇔ \(c^2<a^2+b^2\). Retângulo ⇔ \(C=90^\circ\) ⇔ \(c^2=a^2+b^2\). Obtusângulo ⇔ \(C>90^\circ\) ⇔ \(c^2>a^2+b^2\). Lei dos cossenos: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\).

Triângulo Acutângulo — ΔDEF

Triângulo ΔDEF acutângulo: ângulos D, E e F são agudos. — **ΔDEF** com \( \angle D,\angle E,\angle F<90^\circ \).

Em ΔDEF todos os ângulos são agudos. Ortocentro, incentro e circuncentro ficam dentro do triângulo. Alturas são internas. Veja o artigo completo: triângulo acutângulo.

Critério (lados): \(c^2<a^2+b^2\). Área: \(A=\dfrac{ab\sin C}{2}\). Alturas: \(h_a=\dfrac{2A}{a},\; h_b=\dfrac{2A}{b},\; h_c=\dfrac{2A}{c}\). Raios: \(R=\dfrac{c}{2\sin C},\; r=\dfrac{A}{s}\) com \(s=\tfrac{a+b+c}{2}\).

Triângulo Retângulo — ΔABC

Triângulo ΔABC retângulo com ângulo reto em A. — **ΔABC** retângulo em A: \( \angle A=90^\circ \).

Em ΔABC há um ângulo reto. A hipotenusa é o lado oposto a \( \angle A \). Veja: triângulo retângulo.

Pitágoras: \(c^2=a^2+b^2\). Razões trig.: \(\sin\theta=\frac{\text{cat.op.}}{\text{hip.}},\ \cos\theta=\frac{\text{cat.adj.}}{\text{hip.}}\). Área: \(A=\dfrac{\text{cateto}_1\cdot \text{cateto}_2}{2}\). Semelhança com triângulos formados pela altura na hipotenusa.

Triângulo Obtusângulo — ΔRST

Triângulo ΔRST obtusângulo: ângulo obtuso em S. — **ΔRST** com \( \angle S>90^\circ \) (obtuso).

Em ΔRST um ângulo é obtuso. Ortocentro e circuncentro ficam fora do triângulo; a altura relativa ao lado oposto ao ângulo obtuso cai na extensão do lado. Veja: triângulo obtusângulo.

Critério (lados): \(c^2>a^2+b^2\). Lei dos cossenos: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\) com \(\cos C<0\). Área: \(A=\dfrac{ab\sin C}{2}\). Alturas externas: \(h_b=\dfrac{2A}{b}\) quando o pé cai fora.

Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)

Exemplo 1 — Classifique o triângulo de lados \(7,8,9\).

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Maior lado: \(c=9\).

\(c^2=9^2\)
=81

\(a^2+b^2=7^2+8^2\)
=49+64
=113

Como \(81<113\), é acutângulo (como ΔDEF).

Exemplo 2 — Dados \(a=9\), \(b=12\) e \(C=120^\circ\). Classifique e calcule \(c\).

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Como \(C=120^\circ>90^\circ\), é obtusângulo (ΔRST).

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
\(=9^2+12^2-2\cdot 9\cdot 12\cdot \cos120^\circ\)
\(=81+144-216\cdot (-\tfrac12)\)
\(=333\)

\(c=\sqrt{333}\approx 18{,}25\).

Exemplo 3 — Um triângulo tem \(a=5\), \(b=12\), \(c=13\). Classifique-o.

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\(c^2=13^2=169\)

\(a^2+b^2=25+144=169\)

Como \(c^2=a^2+b^2\), é retângulo (ΔABC).

Exercícios de múltipla escolha

1) Classifique \(6,7,8\).

A) Retângulo B) Obtusângulo C) Acutângulo D) Isósceles E) Equilátero

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Maior lado \(c=8\).

\(c^2=64\)

\(a^2+b^2=36+49=85\)

Como \(64<85\), Acutângulo.

2) Para \(8,15,c\) (com \(c\) maior), o triângulo é retângulo quando:

A) \(c=15\) B) \(c=16\) C) \(c=17\) D) \(c=18\) E) \(c=20\)

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\(c^2=8^2+15^2=64+225=289\Rightarrow c=17\). Alternativa C.

Continue estudando

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Como classificar: por ângulos e por lados (Pitágoras ao contrário)

Triângulo Acutângulo — ΔDEF

Triângulo Retângulo — ΔABC

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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