Coeficiente Binomial — O Que É, Fórmula, Interpretação e Exercícios

O coeficiente binomial, escrito como \(\binom{n}{p}\) e lido “n sobre p”, é um dos conceitos mais importantes da Análise Combinatória. Ele aparece quando precisamos contar quantos grupos podem ser formados, quando a ordem não importa (diferente de arranjos e permutações).

Na prática, \(\binom{n}{p}\) é o coração de vários temas: combinações, Triângulo de Pascal, Binômio de Newton e muitos exercícios de ENEM e concursos.

O que é coeficiente binomial?

O coeficiente binomial \(\binom{n}{p}\) representa o número de maneiras de escolher p elementos de um conjunto com n elementos, sem repetição e com ordem não importando.

Interpretação dos símbolos:

\(n\): total de elementos disponíveis;
\(p\): quantidade de elementos escolhidos;
\(\binom{n}{p}\): número de grupos (seleções) possíveis.

Exemplo rápido: escolher 2 pessoas entre 5 (sem se importar com a ordem) é \(\binom{5}{2}\).

Relação direta com Combinação Simples

O coeficiente binomial é exatamente a combinação simples. Por isso, vale a conexão: Combinação Simples \(\Longleftrightarrow\) \(\binom{n}{p}\).

\[ \binom{n}{p} = C_{n,p} \]

Fórmula do coeficiente binomial

A forma mais usada para calcular \(\binom{n}{p}\) envolve fatoriais. Isso explica por que estudar fatorial antes é tão importante.

O que cada parte faz?
\(n!\) conta todas as ordens possíveis; dividir por \(p!\) e \((n-p)!\) remove as repetições de ordem que não criam grupos novos.

\[ \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} \]

Como saber quando usar \(\binom{n}{p}\)?

Use coeficiente binomial quando:

você escolhe um grupo (comissão, equipe, conjunto);
a ordem não importa (AB = BA);
não há repetição de elementos na escolha.

Se a ordem importa, geralmente você está em arranjo simples. Se usa todos os elementos e ordena, é permutação simples. Se há repetição, pode cair em permutação com repetição ou em estruturas com repetição (ex.: códigos), como arranjo com repetição.