Como calcular volumes por discos e por arruelas no Cálculo?

Este guia prático apresenta a ideia central dos sólidos de revolução e mostra, com exemplos resolvidos linha a linha, como aplicar os métodos dos discos e das arruelas. Você verá a fórmula geral, quando usar cada método e os erros que mais caem.

Intuição de volume por seções A(x) e integral — Volume como soma das áreas das secções: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$.

Definição: volume por seções perpendiculares

$$V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n A(x_i^\*)\,\Delta x \;=\;\int_a^b A(x)\,dx,$$ onde $A(x)$ é a área da secção do sólido cortado por um plano perpendicular ao eixo $x$.

Em problemas de revolução, $A(x)$ costuma ser a área de um disco (círculo maciço) ou de uma arruela (anel circular). A escolha depende de existir ou não “vazio” no meio do sólido.

Método dos discos

Use quando a região gira em torno de um eixo e gera secções circulares cheias.

$$V=\int_a^b \pi\,[f(x)]^{2}\,dx \quad\text{(rotação em torno do eixo $x$, com raio $R(x)=f(x)\ge 0$).}$$

Método dos discos: raio f(x) — Em cada $x$, a secção é um disco de raio $f(x)$.

Exemplo 1 — Discos (resultado $8\pi$ u.v.)

Problema. Gire em torno do eixo $x$ a região limitada por $y=\sqrt{3-x}$ e $x\in[-1,3]$. Encontre o volume.

$V=\displaystyle\int_{-1}^{3}\pi\,[\sqrt{3-x}]^{2}\,dx$ $=\;\pi\displaystyle\int_{-1}^{3}(3-x)\,dx$ $=\;\pi\left[\;3x-\dfrac{x^{2}}{2}\;\right]_{-1}^{3}$ $=\;\pi\left(\;3\cdot 3-\dfrac{3^{2}}{2}\;-\;\big(3\cdot(-1)-\dfrac{(-1)^{2}}{2}\big)\;\right)$ $=\;\pi\left(\;9-\dfrac{9}{2}\;+\;3-\dfrac{1}{2}\;\right)$ $=\;\pi\left(\;\dfrac{18-9+6-1}{2}\;\right)$ $=\;\pi\cdot\dfrac{14}{2}$ $=\;7\pi\;$ ⟵ opa, revise! Correção cuidadosa do passo anterior: $9-\dfrac{9}{2}-(-3-\dfrac{1}{2})=9-\dfrac{9}{2}+3+\dfrac{1}{2}=12-\dfrac{8}{2}=12-4=8$ $V=\;8\pi\;\text{unidades cúbicas.}$

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Método do anel circular (arruelas)

Use quando a rotação gera um “furo” central: a secção é um anel com raio externo $R(x)$ e interno $r(x)$.

$$V=\int_a^b \pi\Big([R(x)]^{2}-[r(x)]^{2}\Big)\,dx.$$

Método das arruelas: raios externo e interno — Área da secção: $\pi R^2-\pi r^2$.

Exemplo 2 — Arruelas (resultado $\frac{96}{5}\pi$ u.v.)

Problema. Rotacione em torno do eixo $x$ a região entre $y=2\sqrt{x}$ (externa) e $y=\dfrac{x^{2}}{4}$ (interna), com $x\in[0,4]$.

$R(x)=2\sqrt{x},\;\; r(x)=\dfrac{x^{2}}{4}$ $V=\displaystyle\int_{0}^{4}\pi\Big([2\sqrt{x}]^{2}-\big[\dfrac{x^{2}}{4}\big]^{2}\Big)\,dx$ $=\;\pi\displaystyle\int_{0}^{4}\left(4x-\dfrac{x^{4}}{16}\right)\,dx$ $=\;\pi\left[\;2x^{2}-\dfrac{x^{5}}{80}\;\right]_{0}^{4}$ $=\;\pi\left(\;2\cdot 4^{2}-\dfrac{4^{5}}{80}\;-\;0\right)$ $=\;\pi\left(\;32-\dfrac{1024}{80}\;\right)$ $=\;\pi\left(\;32-\dfrac{64}{5}\;\right)$ $=\;\pi\cdot\dfrac{160-64}{5}$ $=\;\dfrac{96}{5}\pi\;\text{unidades cúbicas.}$

Quando usar cada método?

Discos — secção cheia; a fronteira superior/abaixo do eixo fornece o raio.
Arruelas — secção com furo; subtraia R² − r².
Se girar em torno de y ou de retas como $x=c$, reescreva a função para o eixo adequado.

Erros comuns (e como evitar)

Esquecer $\pi$ nas áreas circulares.
Limites invertidos ou inadequados ao eixo de rotação.
Usar $R-r$ em vez de $R^{2}-r^{2}$.
Não garantir $R(x)\ge r(x)$ em todo o intervalo.

Exercícios propostos com respostas

Gire a região sob $y=\sqrt{x}$ em $0\le x\le 4$ em torno do eixo $x$. Calcule $V$.

Ver resposta

$V=\displaystyle\int_0^4 \pi(\sqrt{x})^{2}dx=\pi\int_0^4 x\,dx$ $=\;\pi\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_0^4=\pi\cdot\dfrac{16}{2}=8\pi$

Gire a região entre $y=3$ e $y=x$ em $x\in[0,3]$ em torno do eixo $x$ (arruelas).

Ver resposta

$R(x)=3,\; r(x)=x$ $V=\displaystyle\int_0^3 \pi\,(3^{2}-x^{2})\,dx=\pi\left[9x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^3$ $=\;\pi(27-9)=18\pi$

Rotacione a região entre $y=x$ e $y=\sqrt{x}$ em $0\le x\le 1$ em torno do eixo $x$.

Ver resposta

$R(x)=\sqrt{x},\; r(x)=x$ $V=\displaystyle\int_0^1 \pi\,(x- x^{2})\,dx=\pi\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^1$ $=\;\pi\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}$

Para concluir

Pense sempre na secção perpendicular ao eixo de rotação. Se ela é um disco, aplique $\pi R^{2}$; se for um anel, use $\pi(R^{2}-r^{2})$. Defina corretamente $a$ e $b$, alinhe as funções ao eixo e conduza a integral com atenção aos detalhes.