Questão 44 – Propriedades de Números Irracionais
Enunciado:
Sejam \( a \) e \( b \) números irracionais quaisquer. As seguintes afirmações são FALSAS:
a) \( a \cdot b \) sempre é um número irracional;
b) \( a + b \) sempre é um número irracional.
Em cada caso, dê um exemplo que indica que as afirmações são falsas.
Ver Solução
a) Vamos dar um exemplo onde \( a \cdot b \) não é irracional.
Seja \( a = \sqrt{2} \) e \( b = \sqrt{2} \). Ambos são irracionais.
Multiplicando: \( a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \), que é racional.
Contraexemplo: \( a = \sqrt{2},\ b = \sqrt{2} \Rightarrow a \cdot b = 2 \in \mathbb{Q} \)
b) Vamos dar um exemplo onde \( a + b \) não é irracional.
Seja \( a = \sqrt{2} \) e \( b = -\sqrt{2} \). Ambos são irracionais.
Somando: \( a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \), que é racional.
Contraexemplo: \( a = \sqrt{2},\ b = -\sqrt{2} \Rightarrow a + b = 0 \in \mathbb{Q} \)
Resumo: Nem todo produto ou soma de irracionais resulta em outro irracional. Contraexemplos como esses são fundamentais para entender que algumas propriedades não são válidas para todos os casos.
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