Coordenadas do Baricentro — Fórmula, Definição e Exercícios
O baricentro (ou centro de gravidade) de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram. Cada mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. O baricentro é um ponto de equilíbrio geométrico: se o triângulo fosse feito de material homogêneo, ele se equilibraria exatamente nesse ponto.
📘 O que é o Baricentro
O baricentro, representado por \( G(x_G, y_G) \), é o ponto de interseção das medianas de um triângulo. Ele divide cada mediana na razão 2:1, a partir do vértice. Ou seja, o baricentro está duas vezes mais próximo do ponto médio do lado do que do vértice correspondente.
📐 Fórmulas do Baricentro
Sejam os vértices do triângulo \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \) e \( C(x_C, y_C) \). As coordenadas do baricentro são dadas por:
Portanto, o baricentro é obtido pela média aritmética das coordenadas dos três vértices do triângulo.
🧩 Exemplo Resolvido 1
Exemplo: Determine o baricentro do triângulo cujos vértices são \( A(2, 3) \), \( B(8, 7) \) e \( C(4, 1) \).
Resolução:
\( x_G = \dfrac{2 + 8 + 4}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}67 \)
\( y_G = \dfrac{3 + 7 + 1}{3} = \dfrac{11}{3} \approx 3{,}67 \)
Resposta: \( G(4{,}67, 3{,}67) \)
🧮 Exemplo Resolvido 2
Encontre o baricentro do triângulo de vértices \( A(-2, 4) \), \( B(4, 10) \) e \( C(8, -2) \).
Resolução:
\( x_G = \dfrac{-2 + 4 + 8}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \)
\( y_G = \dfrac{4 + 10 + (-2)}{3} = \dfrac{12}{3} = 4 \)
Resposta: \( G(3{,}33, 4) \)
📚 Exercícios de Fixação
1. Determine o baricentro do triângulo com vértices \( A(0, 0) \), \( B(6, 0) \) e \( C(3, 6) \).
\( y_G = \dfrac{0 + 0 + 6}{3} = 2 \)
Resposta: \( G(3, 2) \)
2. Ache o baricentro do triângulo com vértices \( A(-3, 1) \), \( B(3, 5) \) e \( C(5, -3) \).
\( y_G = \dfrac{1 + 5 + (-3)}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \)
Resposta: \( G(1{,}67, 1) \)
3 (Múltipla escolha). O baricentro do triângulo \( A(2, 2) \), \( B(5, 5) \), \( C(8, 2) \) é:
- A) \( (4, 3) \)
- B) \( (5, 3) \)
- C) \( (6, 3) \)
- D) \( (7, 4) \)
\( y_G = \dfrac{2 + 5 + 2}{3} = 3 \)
✅ Alternativa correta: B) (5, 3)
🔥 Exercícios Desafiadores
4. (Desafio 1) O triângulo possui vértices \( A(-6, -3) \), \( B(0, 9) \) e \( C(6, -3) \). Determine as coordenadas do baricentro e sua distância até a origem.
\( y_G = \dfrac{-3 + 9 + (-3)}{3} = 1 \)
Distância à origem: \( OG = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \)
Resposta: \( G(0, 1) \), distância = 1 unidade.
5. (Desafio 2) Se o triângulo tem vértices \( A(2, 1) \), \( B(10, 3) \) e \( C(4, 11) \), encontre o baricentro e verifique se ele pertence à reta \( y = x – 2 \).
\( y_G = \dfrac{1 + 3 + 11}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \)
Substituindo em \( y = x – 2 \): \( 5 = 5{,}33 – 2 \Rightarrow 5 = 3{,}33 \) ❌ (falso).
Conclusão: O ponto \( G \) não pertence à reta \( y = x – 2 \).
6. (Desafio 3 — Geometria Analítica) Mostre que, independentemente das coordenadas dos vértices de um triângulo, a soma dos vetores \( \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \vec{0} \).
\( \overrightarrow{AG} = (x_G – x_A, y_G – y_A) \)
\( \overrightarrow{BG} = (x_G – x_B, y_G – y_B) \)
\( \overrightarrow{CG} = (x_G – x_C, y_G – y_C) \)
Somando as três:
\( (3x_G – (x_A + x_B + x_C), 3y_G – (y_A + y_B + y_C)) = (0, 0) \).
✔️ Assim, \( \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \vec{0} \).
