O Corolário do Teorema de Tales surge quando aplicamos o Teorema de Tales dentro de um triângulo, traçando um segmento paralelo a um dos lados. Isso gera triângulos menores semelhantes ao triângulo original, preservando proporcionalidade entre os lados.
Representação geométrica
Na figura acima, o ponto D divide o lado AB e o ponto E divide o lado AC, enquanto o segmento DE é traçado paralelo ao lado BC.
Fórmula do Corolário de Tales
Quando isso acontece, valem as seguintes proporções:
\(\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\)
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Por que esse resultado é importante?
Esse corolário explica porque muitos problemas envolvendo triângulos podem ser resolvidos usando proporções sem necessidade de cálculos trigonométricos.
Ele é aplicado em:
- topografia;
- maquetes e escalas;
- projeções cartográficas;
- ENEM, OBMEP e vestibulares;
- provas de concursos públicos.
Exemplo resolvido
Problema: No triângulo \(ABC\), o segmento \(DE\) é paralelo a \(BC\). Se \(AD = 3\), \(DB = 5\), e \(AE = 6\), encontre o valor de \(EC\).
Usamos a relação:
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Substituindo:
\(\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{6}{EC}\)
Aplicando produto em cruz:
\(3 \cdot EC = 5 \cdot 6 \Rightarrow 3\,EC = 30\)
Isolando:
\(EC = 10\)
Resposta: \(EC = 10\).
Exercícios para treinar
- Se \(AD = 4\), \(AE = 8\) e \(AC = 12\), determine \(AB\).
- No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AD = 3\), \(DB = 9\) e \(AE = 5\). Encontre \(EC\).
- Explique com palavras por que o corolário de Tales implica semelhança de triângulos.
Ligação com outros teoremas da geometria
O Corolário do Teorema de Tales está ligado diretamente aos conceitos de triângulos semelhantes e é também a base para resultados como:
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