Definição de Derivada
Aprenda o conceito de derivada pela abordagem de limite, entenda sua relação com a inclinação da reta tangente e veja exemplos resolvidos passo a passo.
1) O que é a derivada?
A derivada de uma função \(f(x)\) em um ponto \(a\) mede a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. Geometricamente, ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A(a,f(a))\).
\(f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
Uma forma equivalente, e mais prática para cálculos, utiliza a substituição \(h=x-a\):
\(f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
2) Relação com a reta tangente
Quando a derivada existe, a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A(a,f(a))\) pode ser escrita como:
\(y-f(a)=f'(a)\cdot(x-a)\)
Essa fórmula conecta diretamente a derivada ao conceito de equação da reta, sendo essencial para estudar inclinação da reta tangente e suas aplicações.
3) Exemplo resolvido
Exemplo — Derivada de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) no ponto \(x=1\)
\(f'(1)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\)
\(=\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{1+h}-1}{h}\)
\(=\lim_{h\to 0}\dfrac{1-(1+h)}{h(1+h)}\)
\(=\lim_{h\to 0}\dfrac{-h}{h(1+h)}\)
\(=\lim_{h\to 0}-\dfrac{1}{1+h}\)
\(f'(1)=-1\)
4) Quando a derivada não existe
Uma função pode não ser derivável em um ponto. Isso ocorre quando:
- A função não está definida no ponto;
- O limite da definição é infinito (reta tangente vertical);
- Os limites laterais são diferentes.
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Lista Interativa — Definição de Derivada (limites)
Todas as soluções usam apenas a definição: \[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] Cálculos revisados ✔️. Clique em Mostrar solução para ver o passo a passo.
1(a) Calcule pela definição: \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{(a+h)^2}-\frac{1}{a^2}}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{a^2-(a+h)^2}{h\,a^2(a+h)^2}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{-2ah-h^2}{a^2(a+h)^2\,h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{-(2a+h)}{a^2(a+h)^2}\)
\(=-\dfrac{2a}{a^4}\)
\(=-\dfrac{2}{a^3}\)
1(b) Calcule pela definição: \(f(x)=3x^2-8x+5\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{3(a+h)^2-8(a+h)+5-\big(3a^2-8a+5\big)}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{6ah+3h^2-8h}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\big(6a+3h-8\big)\)
\(=6a-8\)
1(c) Calcule pela definição: \(f(x)=\sqrt{x}\) \((x>0)\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\)
2) Reta tangente a \(f(x)=x^2-8x+9\) em \(P(2,-3)\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-8(a+h)+9-(a^2-8a+9)}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2-8h}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}(2a+h-8)\)
\(=2a-8\)
\(m=f'(2)=2\cdot2-8=-4\)
Reta: \(y-(-3)=-4(x-2)\)
\(\Rightarrow y=-4x+5\)
3) Reta tangente a \(f(x)=\sqrt{x}\) no ponto \((1,1)\)
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De (1c): \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(m=f'(1)=\dfrac{1}{2}\)
Reta: \(y-1=\dfrac{1}{2}(x-1)\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\)
4) Reta tangente a \(f(x)=2x^3-3x^2+2\) no ponto \(x=-1\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{2(a+h)^3-3(a+h)^2+2-\big(2a^3-3a^2+2\big)}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{6a^2h-6ah+(6a-3)h^2+2h^3}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\big(6a^2-6a+(6a-3)h+2h^2\big)\)
\(=6a^2-6a\)
\(m=f'(-1)=6(1)-6(-1)=12\)
Ponto: \(f(-1)=-2-3+2=-3\)
Reta: \(y-(-3)=12(x+1)\)
\(\Rightarrow y=12x+9\)
5) Derivada por limite: \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\frac{a+h-1}{a+h+1}-\frac{a-1}{a+1}}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{(a+h-1)(a+1)-(a-1)(a+h+1)}{h\,(a+h+1)(a+1)}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{(a^2-1)+h(a+1)-(a^2-1)-h(a-1)}{h\,(a+h+1)(a+1)}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{2h}{h\,(a+h+1)(a+1)}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{2}{(a+h+1)(a+1)}\)
\(=\dfrac{2}{(a+1)^2}\)
6) Reta tangente a \(f(x)=x^2-4x+4\) no ponto \((3,1)\)
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\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-4(a+h)+4-(a^2-4a+4)}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2-4h}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}(2a+h-4)\)
\(=2a-4\)
\(m=f'(3)=2\cdot3-4=2\)
Reta: \(y-1=2(x-3)\)
\(\Rightarrow y=2x-5\)
