Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
Descubra as fórmulas para derivadas de arcsin, arccos, arctan e outras — com explicações, exemplos e exercícios. Se precisar revisar a base, acesse a Derivada de Funções Trigonométricas, a Definição de Derivada, as Regras de Derivação e a Derivada de Funções Logarítmicas.
1) Fórmulas principais
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arccos x]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{x^2+1}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccot}\,x]=-\frac{1}{x^2+1}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arcsec}\,x]=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccsc}\,x]=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
\mathrm{} para garantir a correta exibição dos nomes e os módulos \(|x|\) para assegurar o domínio correto.
2) Derivadas compostas (\(u=u(x)\))
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arcsin u]=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arccos u]=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arctan u]=\frac{u’}{u^2+1}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccot}\,u]=-\frac{u’}{u^2+1}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arcsec}\,u]=\frac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccsc}\,u]=-\frac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}}\)
3) Exemplo resolvido
Calcule: \(\displaystyle f'(x)\) para \(f(x)=\arctan(2x)\).
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Aplicando a fórmula: \(\displaystyle f'(x)=\frac{u’}{u^2+1}=\frac{2}{(2x)^2+1}=\frac{2}{4x^2+1}\).
Resposta: \(\dfrac{2}{4x^2+1}\).
4) Exercícios Propostos
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]\).
- Derive \(f(x)=\arccos(3x)\).
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arctan(x^3+1)]\).
- Encontre \(f'(x)\) para \(f(x)=\mathrm{arccsc}\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
- Derive \(f(x)=\mathrm{arcsec}(\sqrt{x})\).
5) Gabarito
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1) \(u=x^2\), \(u’=2x\). \(\arcsin’\Rightarrow \dfrac{2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}} = \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
2) \(u=3x\), \(u’=3\). \(\arccos’\Rightarrow -\dfrac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\).
3) \(u=x^3+1\), \(u’=3x^2\). \(\arctan’\Rightarrow \dfrac{3x^2}{(x^3+1)^2+1}\).
4) \(u=1/x\), \(u’=-1/x^2\). \(\mathrm{arccsc}’\Rightarrow -\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} = \dfrac{1}{|x|\sqrt{1-x^2}}\), com \(0<|x|<1\).
5) \(u=\sqrt{x}\), \(u’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). \(\mathrm{arcsec}’\Rightarrow \dfrac{1}{2x\sqrt{x-1}}\), com \(x>1\).
Exercícios — Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
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Notação: usamos \mathrm{arccot}, \mathrm{arcsec} e \mathrm{arccsc} no MathJax.
Parte 1 — Exercícios básicos
1. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]\).
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Resposta: \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
2. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arccos x]\).
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Resposta: \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
3. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arctan x]\).
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Resposta: \(\dfrac{1}{1+x^2}\).
4. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\mathrm{arccot}\,x]\).
Mostrar solução
Resposta: \(-\dfrac{1}{1+x^2}\).
5. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\mathrm{arcsec}\,x]\).
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Resposta: \(\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\).
Parte 2 — Exercícios intermediários (compostas)
6. Encontre \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin(2x)]\).
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\((\arcsin u)’=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\).
Resposta: \(\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\).
7. Derive \(f(x)=\arccos(3x)\).
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\((\arccos u)’=-\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=-\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\).
Resposta: \(-\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\).
8. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]\).
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\((\arctan u)’=\dfrac{u’}{1+u^2}=\dfrac{1/2}{1+x^2/4}=\dfrac{2}{x^2+4}\).
Resposta: \(\dfrac{2}{x^2+4}\).
9. Derive \(f(x)=\mathrm{arcsec}(\sqrt{x})\).
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\((\mathrm{arcsec}\,u)’=\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}}\Rightarrow \dfrac{1}{2x\sqrt{x-1}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{2x\sqrt{x-1}}\).
10. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{arccsc}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]\).
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\((\mathrm{arccsc}\,u)’=-\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{1/x^2}{(1/|x|)\sqrt{(1-x^2)/x^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Parte 3 — Exercícios avançados
11. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]\).
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\((\arcsin u)’=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}} =\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
12. Determine \(\dfrac{d}{dx}[\arccos(x^3)]\).
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\((\arccos u)’=-\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}} =-\dfrac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\).
Resposta: \(-\dfrac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\).
13. Encontre \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]\) (\(x\neq 0\)).
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\((\arctan u)’=\dfrac{u’}{1+u^2} =\dfrac{-1/x^2}{1+1/x^2} =-\dfrac{1}{x^2+1}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{x^2+1}\).
14. Derive \(f(x)=\mathrm{arcsec}(x^2+1)\).
Mostrar solução
\((\mathrm{arcsec}\,u)’=\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{2x}{(x^2+1)\sqrt{(x^2+1)^2-1}}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{(x^2+1)\sqrt{x^4+2x^2}}\).
15. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{arccsc}\!\left(\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)\right]\).
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\((\mathrm{arccsc}\,u)’=-\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =-\dfrac{1/(4\sqrt{x})}{(\sqrt{x}/2)\sqrt{x/4-1}} =-\dfrac{1}{x\sqrt{x-4}}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{x\sqrt{x-4}}\).
Parte 4 — Problemas aplicados
16. Encontre a reta tangente a \(f(x)=\arcsin x\) em \(x=\dfrac12\).
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Inclinação: \(m=f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Rightarrow m=\dfrac{1}{\sqrt{1-1/4}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).
Tangente: \(y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\!\left(x-\dfrac12\right)\).
Resposta: \(y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\pi}{6}\).
17. Determine a inclinação da tangente a \(g(x)=\arctan(3x)\) em \(x=1\).
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Resposta: \(\dfrac{3}{10}\).
18. Para \(f(x)=\mathrm{arcsec}(2x)\), encontre \(f'(2)\).
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\(f'(x)=\dfrac{2}{|2x|\sqrt{(2x)^2-1}}=\dfrac{1}{|x|\sqrt{4x^2-1}}\).
\(f'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{15}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{2\sqrt{15}}\).
19. Para \(f(x)=\arccos\!\left(\dfrac{x}{4}\right)\), calcule \(f'(2)\).
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\(f'(x)=-\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=-\dfrac{1/4}{\sqrt{1-x^2/16}}\).
\(f'(2)=-\dfrac{1/4}{\sqrt{1-4/16}}=-\dfrac{1/4}{\sqrt{3/4}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\).
20. Dada \(f(x)=\mathrm{arccsc}\!\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\), encontre \(f'(x)\).
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\(f'(x)=-\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{2/x^3}{(1/x^2)\sqrt{1/x^4-1}} =\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
