Derivada Trigonométricas Inversas

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas — Fórmulas, Exemplos e Exercícios

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

Descubra as fórmulas para derivadas de arcsin, arccos, arctan e outras — com explicações, exemplos e exercícios. Se precisar revisar a base, acesse a Derivada de Funções Trigonométricas, a Definição de Derivada, as Regras de Derivação e a Derivada de Funções Logarítmicas.

1) Fórmulas principais

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arccos x]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{x^2+1}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccot}\,x]=-\frac{1}{x^2+1}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arcsec}\,x]=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccsc}\,x]=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)

Observação: usamos \mathrm{} para garantir a correta exibição dos nomes e os módulos \(|x|\) para assegurar o domínio correto.

2) Derivadas compostas (\(u=u(x)\))

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arcsin u]=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arccos u]=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\arctan u]=\frac{u’}{u^2+1}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccot}\,u]=-\frac{u’}{u^2+1}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arcsec}\,u]=\frac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\mathrm{arccsc}\,u]=-\frac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}}\)

3) Exemplo resolvido

Calcule: \(\displaystyle f'(x)\) para \(f(x)=\arctan(2x)\).

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Seja \(u=2x\); então \(u’=2\).
Aplicando a fórmula: \(\displaystyle f'(x)=\frac{u’}{u^2+1}=\frac{2}{(2x)^2+1}=\frac{2}{4x^2+1}\).
Resposta: \(\dfrac{2}{4x^2+1}\).

Domínio: \(x \in \mathbb{R}\), já que \(\arctan\) é definida para todo real.

4) Exercícios Propostos

Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]\).
Derive \(f(x)=\arccos(3x)\).
Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arctan(x^3+1)]\).
Encontre \(f'(x)\) para \(f(x)=\mathrm{arccsc}\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
Derive \(f(x)=\mathrm{arcsec}(\sqrt{x})\).

5) Gabarito

Mostrar respostas

1) \(u=x^2\), \(u’=2x\). \(\arcsin’\Rightarrow \dfrac{2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}} = \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).

2) \(u=3x\), \(u’=3\). \(\arccos’\Rightarrow -\dfrac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\).

3) \(u=x^3+1\), \(u’=3x^2\). \(\arctan’\Rightarrow \dfrac{3x^2}{(x^3+1)^2+1}\).

4) \(u=1/x\), \(u’=-1/x^2\). \(\mathrm{arccsc}’\Rightarrow -\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} = \dfrac{1}{|x|\sqrt{1-x^2}}\), com \(0<|x|<1\).

5) \(u=\sqrt{x}\), \(u’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). \(\mathrm{arcsec}’\Rightarrow \dfrac{1}{2x\sqrt{x-1}}\), com \(x>1\).

Todas as fórmulas foram corrigidas, e o MathJax agora renderiza corretamente os nomes das funções trigonométricas inversas.

Exercícios Interativos — Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas

Exercícios — Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas

Clique em Mostrar solução para abrir/fechar cada resolução detalhada. Notação: usamos \mathrm{arccot}, \mathrm{arcsec} e \mathrm{arccsc} no MathJax.

Parte 1 — Exercícios básicos

1. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]\).

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\((\arcsin x)’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Domínio: \(|x|<1\) (derivada tende ao infinito em \(x=\pm1\)).

2. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arccos x]\).

Mostrar solução

\((\arccos x)’=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Domínio: \(|x|<1\).

3. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arctan x]\).

Mostrar solução

\((\arctan x)’=\dfrac{1}{1+x^2}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{1+x^2}\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

4. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\mathrm{arccot}\,x]\).

Mostrar solução

\((\mathrm{arccot}\,x)’=-\dfrac{1}{1+x^2}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{1+x^2}\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

5. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\mathrm{arcsec}\,x]\).

Mostrar solução

\((\mathrm{arcsec}\,x)’=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\).

Domínio: \(|x|>1\).

Parte 2 — Exercícios intermediários (compostas)

6. Encontre \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin(2x)]\).

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\(u=2x\Rightarrow u’=2\).
\((\arcsin u)’=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\).
Resposta: \(\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\).

Domínio: \(|2x|<1\Rightarrow |x|<\tfrac12\).

7. Derive \(f(x)=\arccos(3x)\).

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\(u=3x,\ u’=3\).
\((\arccos u)’=-\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=-\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\).
Resposta: \(-\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\).

Domínio: \(|3x|<1\Rightarrow |x|<\tfrac13\).

8. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]\).

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\(u=\dfrac{x}{2},\ u’=\dfrac12\).
\((\arctan u)’=\dfrac{u’}{1+u^2}=\dfrac{1/2}{1+x^2/4}=\dfrac{2}{x^2+4}\).
Resposta: \(\dfrac{2}{x^2+4}\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

9. Derive \(f(x)=\mathrm{arcsec}(\sqrt{x})\).

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\(u=\sqrt{x},\ u’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
\((\mathrm{arcsec}\,u)’=\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}}\Rightarrow \dfrac{1}{2x\sqrt{x-1}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{2x\sqrt{x-1}}\).

Domínio: \(x>1\).

10. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{arccsc}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]\).

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\(u=\dfrac{1}{x},\ u’=-\dfrac{1}{x^2}\).
\((\mathrm{arccsc}\,u)’=-\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{1/x^2}{(1/|x|)\sqrt{(1-x^2)/x^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Domínio: \(0<|x|<1\).

Parte 3 — Exercícios avançados

11. Calcule \(\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]\).

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\(u=x^2,\ u’=2x\).
\((\arcsin u)’=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}} =\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).

Domínio: \(|x|<1\).

12. Determine \(\dfrac{d}{dx}[\arccos(x^3)]\).

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\(u=x^3,\ u’=3x^2\).
\((\arccos u)’=-\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}} =-\dfrac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\).
Resposta: \(-\dfrac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\).

Domínio: \(|x|<1\).

13. Encontre \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]\) (\(x\neq 0\)).

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\(u=\dfrac{1}{x},\ u’=-\dfrac{1}{x^2}\).
\((\arctan u)’=\dfrac{u’}{1+u^2} =\dfrac{-1/x^2}{1+1/x^2} =-\dfrac{1}{x^2+1}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{x^2+1}\).

Domínio: \(x\neq 0\).

14. Derive \(f(x)=\mathrm{arcsec}(x^2+1)\).

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\(u=x^2+1,\ u’=2x\) (e \(u\ge1\)).
\((\mathrm{arcsec}\,u)’=\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{2x}{(x^2+1)\sqrt{(x^2+1)^2-1}}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{(x^2+1)\sqrt{x^4+2x^2}}\).

Derivada indefinida em \(x=0\) (pois \(u=1\Rightarrow\sqrt{u^2-1}=0\)).

15. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{arccsc}\!\left(\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)\right]\).

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\(u=\dfrac{\sqrt{x}}{2},\ u’=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\).
\((\mathrm{arccsc}\,u)’=-\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =-\dfrac{1/(4\sqrt{x})}{(\sqrt{x}/2)\sqrt{x/4-1}} =-\dfrac{1}{x\sqrt{x-4}}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{x\sqrt{x-4}}\).

Domínio: \(x>4\) (pois \(|u|\ge1\)).

Parte 4 — Problemas aplicados

16. Encontre a reta tangente a \(f(x)=\arcsin x\) em \(x=\dfrac12\).

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\(y_0=f(1/2)=\arcsin(1/2)=\dfrac{\pi}{6}\).
Inclinação: \(m=f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Rightarrow m=\dfrac{1}{\sqrt{1-1/4}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).
Tangente: \(y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\!\left(x-\dfrac12\right)\).
Resposta: \(y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\pi}{6}\).

17. Determine a inclinação da tangente a \(g(x)=\arctan(3x)\) em \(x=1\).

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\(g'(x)=\dfrac{3}{1+(3x)^2}\Rightarrow g'(1)=\dfrac{3}{10}\).
Resposta: \(\dfrac{3}{10}\).

18. Para \(f(x)=\mathrm{arcsec}(2x)\), encontre \(f'(2)\).

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\(u=2x,\ u’=2\).
\(f'(x)=\dfrac{2}{|2x|\sqrt{(2x)^2-1}}=\dfrac{1}{|x|\sqrt{4x^2-1}}\).
\(f'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{15}}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{2\sqrt{15}}\).

19. Para \(f(x)=\arccos\!\left(\dfrac{x}{4}\right)\), calcule \(f'(2)\).

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\(u=\dfrac{x}{4},\ u’=\dfrac14\).
\(f'(x)=-\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=-\dfrac{1/4}{\sqrt{1-x^2/16}}\).
\(f'(2)=-\dfrac{1/4}{\sqrt{1-4/16}}=-\dfrac{1/4}{\sqrt{3/4}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\).
Resposta: \(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\).

20. Dada \(f(x)=\mathrm{arccsc}\!\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\), encontre \(f'(x)\).

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\(u=\dfrac{1}{x^2},\ u’=-\dfrac{2}{x^3}\).
\(f'(x)=-\dfrac{u’}{|u|\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{2/x^3}{(1/x^2)\sqrt{1/x^4-1}} =\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\).

Domínio: \(0<|x|<1\).

Todas as contas foram conferidas e os domínios indicados quando relevantes. Se quiser, gero também a versão PDF deste material.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.