Derivadas do Produto e Quociente

Derivadas do Produto e Quociente — Conceitos, Fórmulas e Exemplos Resolvidos

Derivadas do Produto e Quociente — Guia Completo

Aprenda as regras da derivada do produto e do quociente com explicações passo a passo, exemplos resolvidos e exercícios propostos. Para revisar os conceitos, veja também: Definição de Derivada e Regras de Derivação.

1) Derivada do Produto

Quando temos uma função definida pelo produto de duas funções deriváveis \(u(x)\) e \(v(x)\), usamos a fórmula:

\(\displaystyle (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’\)

Derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

2) Exemplos Resolvidos — Produto

Exemplo 1: \(f(x) = (x^2-2)(2x^5+4)\).

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Identifique: \(u = x^2-2\), \(v = 2x^5+4\).

\(u’ = 2x\), \(v’ = 10x^4\).

\(f'(x)=u’\cdot v + u\cdot v’ = (2x)(2x^5+4)+(x^2-2)(10x^4)\).

= \(4x^6+8x+10x^6-20x^4\).

Resposta: \(f'(x)=14x^6-20x^4+8x\).

Exemplo 2: \(f(x) = (x^4 – 3x)\left(\sqrt[5]{x^7} – 100\right)\).

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Identifique: \(u = x^4-3x\), \(v = \sqrt[5]{x^7}-100\).

\(u’ = 4x^3-3\), \(v’ = \dfrac{7}{5}x^{2/5}\).

\(f'(x) = u’\cdot v + u\cdot v’\).

= \((4x^3-3)\left(\sqrt[5]{x^7}-100\right)+(x^4-3x)\dfrac{7}{5}x^{2/5}\).

Resposta final simplificada: \(f'(x)=(4x^3-3)\left(\sqrt[5]{x^7}-100\right)+\dfrac{7}{5}(x^4-3x)x^{2/5}\).

3) Derivada do Quociente

Para funções definidas pelo quociente de \(u(x)\) e \(v(x)\), a fórmula é:

\(\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2}\)

Derivamos o numerador, multiplicamos pelo denominador, subtraímos o numerador vezes a derivada do denominador e dividimos tudo pelo quadrado do denominador.

4) Exemplos Resolvidos — Quociente

Exemplo 1: \(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x-3}\).

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\(u = x^2+2,\ v = x-3\). \(u’ = 2x,\ v’ = 1\). \(f'(x)=\dfrac{(2x)(x-3)-(x^2+2)(1)}{(x-3)^2}=\dfrac{2x^2-6x-x^2-2}{(x-3)^2}=\dfrac{x^2-6x-2}{(x-3)^2}\).

Exemplo 2: \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2x+1}\).

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\(u=\sqrt{x},\ v=2x+1\). \(u’=\dfrac1{2\sqrt{x}},\ v’=2\). \(f'(x)=\dfrac{\dfrac1{2\sqrt{x}}(2x+1)-\sqrt{x}(2)}{(2x+1)^2}=\dfrac{2x+1-4x}{2\sqrt{x}(2x+1)^2}=\dfrac{1-2x}{2\sqrt{x}(2x+1)^2}\).

5) Exercícios Propostos

Exercício 1. Derive \(f(x)=(3x^2+1)(x^3+2x)\).

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\(u=3x^2+1,\ v=x^3+2x\). \(u’=6x,\ v’=3x^2+2\). \(f'(x)=u’v+uv’=(6x)(x^3+2x)+(3x^2+1)(3x^2+2)\).

Exercício 2. Calcule \(f'(x)=\dfrac{2x^2+3}{x^2+1}\).

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\(u=2x^2+3,\ v=x^2+1\). \(u’=4x,\ v’=2x\). \(f'(x)=\dfrac{4x(x^2+1)-(2x^2+3)(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{4x^3+4x-4x^3-6x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\).

6) Materiais Recomendados

Para aprofundar seus estudos em derivadas e cálculo, confira: – 📘 Mapas Mentais de Matemática
– 📗 Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 8 — Limites, Derivadas e Integrais
– 📕 Coleção com 10 eBooks de Matemática

Lista de Exercícios — Derivada do Produto e do Quociente

Resolva e depois abra a solução. Para revisar teoria, consulte: Definição de Derivada e Regras de Derivação.

1) Regra do Produto — \((u\cdot v)’=u’v+uv’\)

1. \(f(x)=(x+1)(x+2)\)

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\(u=x+1,\ v=x+2\). \(u’=1,\ v’=1\). \(f'(x)=1\cdot(x+2)+(x+1)\cdot1=2x+3\).

2. \(f(x)=(3x-5)(x^2+1)\)

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\(u=3x-5,\ v=x^2+1\). \(u’=3,\ v’=2x\). \(f'(x)=3(x^2+1)+(3x-5)(2x)=9x^2-10x+3\).

3. \(f(x)=x^2e^{x}\)

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\(u=x^2,\ v=e^x\). \(u’=2x,\ v’=e^x\). \(f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)\).

4. \(f(x)=\ln x\cdot\sqrt{x}\ \ (x>0)\)

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\(u=\ln x,\ v=x^{1/2}\). \(u’=\frac1x,\ v’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). \(f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}+\ln x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\).

5. \(f(x)=(x^3-2x+1)(2x^2+3)\)

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\(u=x^3-2x+1,\ v=2x^2+3\). \(u’=3x^2-2,\ v’=4x\). \(f'(x)=(3x^2-2)(2x^2+3)+(x^3-2x+1)(4x)=10x^4-3x^2+4x-6\).

6. \(f(x)=(\sqrt{x}+1)(x^2-4x)\ \ (x>0)\)

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\(u=\sqrt{x}+1,\ v=x^2-4x\). \(u’=\frac{1}{2\sqrt{x}},\ v’=2x-4\). \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2-4x)+(\sqrt{x}+1)(2x-4)\).

7. \(f(x)=(2x+3)\ln x\ \ (x>0)\)

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\(u=2x+3,\ v=\ln x\). \(u’=2,\ v’=\frac1x\). \(f'(x)=2\ln x+\frac{2x+3}{x}=2\ln x+2+\frac3x\).

8. \(f(x)=e^{2x}\sin x\)

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\(u=e^{2x},\ u’=2e^{2x};\ v=\sin x,\ v’=\cos x\). \(f'(x)=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x=e^{2x}(2\sin x+\cos x)\).

9. \(f(x)=(x^2+1)\sqrt[3]{x^4-2x}\)

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\(u=x^2+1,\ u’=2x\). \(v=(x^4-2x)^{1/3},\ v’=\frac13(x^4-2x)^{-2/3}(4x^3-2)\). \(f'(x)=2x(x^4-2x)^{1/3}+(x^2+1)\frac{4x^3-2}{3(x^4-2x)^{2/3}}\).

10. \(f(x)=\ln x\cdot e^{3x}\ \ (x>0)\)

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\(u=\ln x,\ u’=\frac1x;\ v=e^{3x},\ v’=3e^{3x}\). \(f'(x)=\frac{e^{3x}}{x}+3e^{3x}\ln x=e^{3x}\!\left(\frac1x+3\ln x\right)\).

11. \(f(x)=(\sqrt{x}+x^{-1})(x^2+1)\ \ (x>0)\)

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\(u=\sqrt{x}+x^{-1},\ u’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-x^{-2}\). \(v=x^2+1,\ v’=2x\). \(f'(x)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-x^{-2}\right)(x^2+1)+(\sqrt{x}+x^{-1})(2x)\).

12. \(f(x)=(\tan x)(\sec x)\)

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\((\tan x)’=\sec^2 x,\ (\sec x)’=\sec x\tan x\). \(f'(x)=\sec^2x\cdot\sec x+\tan x\cdot\sec x\tan x=\sec^3x+\tan^2x\,\sec x\).

2) Regra do Quociente — \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\)

13. \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\)

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\(u=x^2+1,\ u’=2x;\ v=x+1,\ v’=1\). \(f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\).

14. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}\ \ (x>0)\)

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\(u=\sqrt{x},\ u’=\frac{1}{2\sqrt{x}};\ v=x^2+4,\ v’=2x\). \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+4)-\sqrt{x}(2x)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{4-3x^2}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2}\).

15. \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\ \ (x>0)\)

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\(u=\ln x,\ u’=\frac1x;\ v=x,\ v’=1\). \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).

16. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}\ \ (x\neq0)\)

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\(u=e^x,\ u’=e^x;\ v=x^2,\ v’=2x\). \(f'(x)=\dfrac{e^x x^2-e^x(2x)}{x^4}=e^x\dfrac{x-2}{x^3}\).

17. \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x-1}\ \ (x\neq1)\)

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\(u’=3x^2,\ v’=1\). \(f'(x)=\dfrac{3x^2(x-1)-(x^3-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{2x^3-3x^2+1}{(x-1)^2}=2x+1\) (para \(x\neq1\)).

18. \(f(x)=\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{2x+1}\ \ (x>0)\)

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\(u=x^2+\sqrt{x},\ u’=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}};\ v=2x+1,\ v’=2\). \(f'(x)=\dfrac{\left(2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(2x+1)-2(x^2+\sqrt{x})}{(2x+1)^2}\).

19. \(f(x)=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\ \ (x\neq0)\)

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\(u’=\dfrac{2x}{x^2+1},\ v’=1\). \(f'(x)=\dfrac{\dfrac{2x}{x^2+1}\,x-\ln(x^2+1)}{x^2}=\dfrac{\dfrac{2x^2}{x^2+1}-\ln(x^2+1)}{x^2}\).

20. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x^2+1}\)

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\(u’=\cos x,\ v’=2x\). \(f'(x)=\dfrac{\cos x(x^2+1)-\sin x(2x)}{(x^2+1)^2}\).

21. \(f(x)=\dfrac{e^{2x}+\sqrt{x}}{\ln x}\ \ (x>0,\,x\neq1)\)

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\(u’=2e^{2x}+\frac{1}{2\sqrt{x}},\ v’=\frac1x\). \(f'(x)=\dfrac{\left(2e^{2x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\ln x-\left(e^{2x}+\sqrt{x}\right)\frac1x}{(\ln x)^2}\).

22. \(f(x)=\dfrac{\tan x}{e^x}\)

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\(u’=\sec^2x,\ v’=e^x\). \(f'(x)=\dfrac{\sec^2x\,e^x-\tan x\,e^x}{e^{2x}}=\dfrac{\sec^2x-\tan x}{e^x}\).

23. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3-2x}\ \ (x\neq0,\ x^2\neq2)\)

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\(u=(x^4+1)^{1/2}\Rightarrow u’=\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}\). \(v=x^3-2x\Rightarrow v’=3x^2-2\). \(f'(x)=\dfrac{\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}(x^3-2x)-\sqrt{x^4+1}(3x^2-2)}{(x^3-2x)^2}\).

24. \(f(x)=\dfrac{x\,e^x}{x^2+1}\)

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\(u=x e^x\Rightarrow u’=e^x+xe^x=e^x(1+x)\). \(v=x^2+1\Rightarrow v’=2x\). \(f'(x)=\dfrac{e^x(1+x)(x^2+1)-xe^x(2x)}{(x^2+1)^2}=e^x\dfrac{x^3-x^2+x+1}{(x^2+1)^2}\).

3) Desafios

25. Mostre que se \(f(x)=x\ln x\) então \(f'(x)=1+\ln x\) \((x>0)\).

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Produto: \(u=x,\ v=\ln x\). \(u’=1,\ v’=\frac1x\). \(f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1\).

26. Calcule \(f'(x)=\dfrac{e^{x}\ln x}{x^2+1}\ \ (x>0)\).

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\(u=e^x\ln x\Rightarrow u’=e^x\ln x+e^x\frac1x=e^x\!\left(\ln x+\frac1x\right)\). \(v=x^2+1\Rightarrow v’=2x\). \(f'(x)=\dfrac{e^x(\ln x+\frac1x)(x^2+1)-e^x\ln x(2x)}{(x^2+1)^2}\).

27. Prove com a regra do quociente que \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\) \((x\neq0)\).

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\(f(x)=\frac{1}{x}=\frac{u}{v}\) com \(u=1,\ v=x\). \(u’=0,\ v’=1\). \(f'(x)=\dfrac{0\cdot x-1\cdot1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}\).

28. Encontre a reta tangente a \(f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x+1}\) no ponto \(x=1\).

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Ponto: \(f(1)=\frac{1+3}{2}=2\Rightarrow (1,2)\). \(u=x^2+3x,\ u’=2x+3;\ v=x+1,\ v’=1\). \(f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}\). Inclinação: \(m=f'(1)=\frac{1+2+3}{4}=\frac{3}{2}\). Tangente: \(y-2=\frac{3}{2}(x-1)\Rightarrow y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\).

Precisa revisar a teoria?

Leia: Definição de Derivada e Regras de Derivação.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.