Desigualdade Triangular
A desigualdade triangular dá a condição necessária e suficiente para três segmentos formarem um triângulo: nenhum lado pode ser maior ou igual à soma dos outros dois.
Enunciado e formas úteis
Forma “soma”
a < b + c b < a + c c < a + bForma “compacta”
|b − c| < a < b + cCondição de existência (necessária e suficiente)
existe triângulo ⇔ (a < b + c ∧ b < a + c ∧ c < a + b) e a, b, c > 0Casos-limite (triângulo degenerado)
a = b + c ou a = |b − c| ⇒ pontos alinhados (área = 0)Consequência imediata: com b e c fixos, o terceiro lado deve satisfazer o intervalo |b − c| < a < b + c.
Consequências rápidas
- Cada lado é menor que o semiperímetro. De a < b + c resulta 2a < a + b + c = P ⇒ a < P/2 = s (vale também para b e c).
- Classificação por ângulos. Com o maior lado c: a2 + b2 = c2 (retângulo), a2 + b2 > c2 (acutângulo) ou a2 + b2 < c2 (obtusângulo).
- Cheque antes de tudo. Teste a desigualdade triangular antes de aplicar Lei do Cosseno, Lei dos Senos ou as fórmulas de área.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Verificar se forma triângulo
Os segmentos 5, 7 e 11 cm formam triângulo?
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Exemplo 2 — Intervalo do terceiro lado
Dados b = 8 cm e c = 13 cm, quais valores possíveis para a?
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Exemplo 3 — Corrigindo um “quase triângulo”
Uma placa deve ser triangular com lados 12, 18 e 30 cm. É possível? Se não, ajuste o maior lado para o menor valor que permita triângulo.
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Exemplo 4 — Perímetro fixo
Num triângulo com perímetro P = 30 cm, prove que a < 15 e encontre a faixa de a se b = 11.
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Exercícios (múltipla escolha)
Use a forma compacta |b − c| < a < b + c.
(1)
Quais trincas não formam triângulo?
- (3, 4, 8)
- (7, 10, 16)
- (9, 12, 20)
- (5, 9, 13)
- (8, 15, 22)
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(2)
Com b = 10 cm e c = 17 cm, o intervalo possível para a é:
- a > 7
- a < 27
- 7 < a < 27
- 10 < a < 17
- a > 10
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(3)
Para a = 11 e b = 13, qual não pode ser c?
- 2
- 7
- 15
- 21
- 23
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(4)
O maior lado mede 18 cm. Para existir triângulo, a soma dos outros dois deve ser:
- = 18
- ≥ 18
- > 18
- ≤ 18
- < 18
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(5)
Se a = 9 e b = 14, a menor e a maior possibilidade para c são, respectivamente:
- 5 e 23
- 4 e 24
- 3 e 25
- 5 e 24
- 4 e 23
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Resumo rápido
Condição
|b − c| < a < b + c (e cíclicas)Terceiro lado (com b e c fixos)
a ∈ ( |b − c| , b + c )Casos-limite
a = b + c ou a = |b − c| ⇒ degenerado (área = 0)Dica
a, b, c < s = P/2 e sempre teste a desigualdade antes de Heron, senos e cossenos.Veja também: Lei do Cosseno, Lei dos Senos, Área de Triângulo.
