Enunciado: Uma função quadrática \( f \) é tal que:
- \( f(0) = 6 \)
- \( f(1) = 2 \)
- \( f(-2) = 20 \)
Determine o valor de \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) \).
a) \( \dfrac{7}{4} \)
b) \( \dfrac{11}{4} \)
c) \( \dfrac{15}{4} \)
d) \( \dfrac{19}{4} \)
e) \( \dfrac{23}{4} \)
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Seja \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
Sabemos que:
1) \( f(0) = c = 6 \)
2) \( f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 2 \)
\( \Rightarrow a + b + 6 = 2 \)
\( \Rightarrow a + b = -4 \) … (I)
3) \( f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 20 \)
\( \Rightarrow 4a – 2b + 6 = 20 \)
\( \Rightarrow 4a – 2b = 14 \) … (II)
Resolvendo o sistema:
Da (I): \( b = -4 – a \)
Substituindo em (II):
\( 4a – 2(-4 – a) = 14 \)
\( 4a + 8 + 2a = 14 \)
\( 6a = 6 \Rightarrow a = 1 \)
\( b = -4 – 1 = -5 \)
Função obtida: \( f(x) = x^2 – 5x + 6 \)
Calculando \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) \):
\[ f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 – 5\left(\dfrac{1}{2}\right) + 6 \]
\[ = \dfrac{1}{4} – \dfrac{5}{2} + 6 \]
\[ = \dfrac{1}{4} – \dfrac{10}{4} + \dfrac{24}{4} = \dfrac{15}{4} \]
✅ Resposta correta: letra c) \( \dfrac{15}{4} \)
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