Discussão de um sistema linear não escalonado
Quando os coeficientes/termos de um sistema \(2\times2\) ainda não foram simplificados (isto é, o sistema não está escalonado), é possível discutir os valores dos parâmetros para saber se ele será possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). O critério central, para \(2\times2\), é o determinante da matriz dos coeficientes. Para conexões e revisão, veja: A·x=b, matriz aumentada, escalonamento (Gauss) e classificação (SPD, SI, SPI).
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Inclui o passo a passo para discussão de sistemas com parâmetros (2×2 e 3×3), Regra de Cramer, Rouché–Capelli e “atalhos” de escalonamento.
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Considere \(\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\) e \(D=\det\!\begin{bmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{bmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\).
- Se \(D\neq0\) ⇒ SPD (solução única) e pode-se usar Cramer.
- Se \(D=0\) ⇒ ou SI ou SPI.
Compare os vetores \((a_1,b_1,c_1)\) e \((a_2,b_2,c_2)\):
- proporcionais ⇒ SPI (equações equivalentes);
- não proporcionais ⇒ SI (paralelas, sem interseção).
1) \(kx+2y=4\) e \(3x+6y=m\)
\(D=6k-6=6(k-1)\).
Discussão completa
- \(k\neq1\): \(D\neq0\) ⇒ SPD. Por Cramer, \[ x=\frac{24-2m}{6(k-1)}=\frac{12-m}{3(k-1)},\qquad y=\frac{km-12}{6(k-1)}. \] Em particular, se \(m=12\) então \(x=0\) e \(y=2\) para todo \(k\neq1\).
- \(k=1\): \(D=0\).
As linhas \((1,2)\) e \((3,6)\) são proporcionais;
para ser proporcional também no termo independente, é necessário \(m=12\).
- \(m=12\) ⇒ SPI: \(x+2y=4\) ⇒ \(S=\{(4-2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}\).
- \(m\neq12\) ⇒ SI (paralelas): escalonando \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\) dá \([0\ 0\mid m-12]\neq0\).
2) \((k-2)x+y=1\) e \(2(k-2)x+2y=2+r\)
Discussão
O determinante é sempre \(0\) (segunda linha é o dobro da primeira no LHS). Se \(r=0\) ⇒ SPI (equações equivalentes) com \(S=\{(t,\,1- (k-2)t)\}\). Se \(r\neq0\) ⇒ SI (após \(L_2\gets L_2-2L_1\) aparece \([0\ 0\mid r]\)).
3) Conferindo por escalonamento
\(x+2y=4\) e \(2x+4y=9\)
Matriz aumentada \(\left[\begin{array}{cc|c}1&2&4\\2&4&9\end{array}\right]\). \(L_2\gets L_2-2L_1\Rightarrow [0\ 0\mid 1]\) ⇒ SI.
\(x+2y=4\) e \(2x+4y=8\)
\(L_2\gets L_2-2L_1\Rightarrow [0\ 0\mid 0]\) ⇒ SPI com \(S=\{(4-2t,t)\}\).
Exercícios (com gabarito)
1) Discuta \(\{\,2x+3y=p,\ 4x+6y=10\,\}\).
Gabarito
Determinante \(=0\). Se \(p=5\) (proporção 2:1 também no RHS) ⇒ SPI; caso contrário ⇒ SI.
2) \(\{\,ax+by=1,\ 2ax+2by=m\,\}\). Para quais \(m\) o sistema é SPI? E SI?
Gabarito
Determinante \(=0\) para quaisquer \(a,b\). Se \(m=2\) ⇒ SPI; se \(m\neq2\) ⇒ SI.
3) \(\{\,kx+y=2,\ 3x+3y=6\,\}\). Classifique conforme \(k\).
Gabarito
\(D=3k-3=3(k-1)\). Se \(k\neq1\) ⇒ SPD (solução única). Se \(k=1\) ⇒ linhas proporcionais e RHS proporcional ⇒ SPI.
4) Resolva (quando possível) \(\{\,kx+2y=4,\ 2x+y=3\,\}\).
Gabarito
\(D=k\cdot1-2\cdot2=k-4\). Se \(k\neq4\) ⇒ SPD: \(x=\dfrac{4-2\cdot3}{k-4}=\dfrac{-2}{k-4},\quad y=\dfrac{k\cdot3-2\cdot4}{k-4}=\dfrac{3k-8}{k-4}\). Se \(k=4\) ⇒ SI (após \(L_1\gets L_1-2L_2\) fica \([0\ 0\mid -2]\)).
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Conclusão
Em sistemas \(2\times2\) não escalonados, olhe primeiro o determinante da matriz dos coeficientes. Com \(D\neq0\), a solução é única (Cramer resolve em segundos). Com \(D=0\), decida entre SI e SPI por proporcionalidade dos tripletos \((a,b,c)\) ou pelo escalonamento da matriz aumentada. Depois, generalize para \(3\times3\) usando Gauss e Rouché–Capelli.
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