Divisão de um Segmento em uma Razão Dada — Fórmulas e Exemplos
A divisão de um segmento em uma razão dada é um conceito importante da Geometria Analítica. Ele permite determinar as coordenadas do ponto que divide um segmento de reta entre dois pontos conhecidos, segundo uma razão estabelecida entre os comprimentos das partes.
📘 O que significa dividir um segmento em uma razão
Considere dois pontos \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \) e um ponto \( P(x, y) \) pertencente ao segmento \( \overline{AB} \), que o divide em duas partes proporcionais \( AP \) e \( PB \). Dizemos que \( P \) divide o segmento \( AB \) na razão \( n:m \) quando:
\[ \frac{AP}{PB} = \frac{n}{m} \]
Isso significa que o comprimento do segmento entre \(A\) e \(P\) é proporcional a \(n\), enquanto o comprimento entre \(P\) e \(B\) é proporcional a \(m\).
📐 Fórmulas do ponto que divide um segmento
Essas fórmulas fornecem as coordenadas do ponto \( P(x, y) \) que divide o segmento \( AB \) na razão \( n:m \). Note que, se \( n = m \), o ponto \( P \) será exatamente o ponto médio do segmento.
🧩 Exemplo Resolvido 1
Determine o ponto \( P(x, y) \) que divide o segmento com extremidades \( A(2, 3) \) e \( B(8, 9) \) na razão \( 1 : 2 \).
Resolução:
\( x = \dfrac{x_1 n + x_2 m}{n + m} = \dfrac{2(1) + 8(2)}{1 + 2} = \dfrac{2 + 16}{3} = 6 \)
\( y = \dfrac{y_1 n + y_2 m}{n + m} = \dfrac{3(1) + 9(2)}{1 + 2} = \dfrac{3 + 18}{3} = 7 \)
Resposta: \( P(6, 7) \)
🧮 Exemplo Resolvido 2
Encontre o ponto \( P(x, y) \) que divide o segmento \( A(-4, 6) \) e \( B(2, -2) \) na razão \( 2 : 1 \).
Resolução:
\( x = \dfrac{(-4)(1) + 2(2)}{1 + 2} = \dfrac{-4 + 4}{3} = 0 \)
\( y = \dfrac{6(1) + (-2)(2)}{1 + 2} = \dfrac{6 – 4}{3} = \dfrac{2}{3} \)
Resposta: \( P(0, \dfrac{2}{3}) \)
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📚 Exercícios Propostos
1. Encontre o ponto que divide o segmento \( A(0, 0) \) e \( B(10, 6) \) na razão \( 2:3 \).
\( y = \dfrac{0(3) + 6(2)}{2 + 3} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4 \)
Resposta: \( P(4, 2{,}4) \)
2. Determine o ponto que divide \( A(-2, 4) \) e \( B(8, -6) \) na razão \( 3:2 \).
\( y = \dfrac{4(2) + (-6)(3)}{3 + 2} = \dfrac{8 – 18}{5} = -2 \)
Resposta: \( P(4, -2) \)
3 (Múltipla escolha). O ponto \( P \) divide \( A(2, 4) \) e \( B(8, 10) \) na razão \( 1:1 \). O ponto \( P \) é:
- A) (3, 5)
- B) (4, 7)
- C) (5, 8)
- D) (6, 9)
\( y = \dfrac{4(1) + 10(1)}{2} = 7 \)
✅ Alternativa correta: C) (5, 7)
🔥 Exercícios Desafiadores
4. (Desafio 1) O ponto \( P \) divide externamente o segmento \( A(2, 5) \) e \( B(8, 11) \) na razão \( 2:1 \). Determine as coordenadas de \( P \).
\( x = \dfrac{x_1 n – x_2 m}{n – m} = \dfrac{2(1) – 8(2)}{1 – 2} = \dfrac{2 – 16}{-1} = 14 \)
\( y = \dfrac{y_1 n – y_2 m}{n – m} = \dfrac{5(1) – 11(2)}{1 – 2} = \dfrac{5 – 22}{-1} = 17 \)
Resposta: \( P(14, 17) \)
5. (Desafio 2) O ponto \( P(3, 2) \) divide o segmento \( A(1, 1) \) e \( B(7, 4) \). Determine a razão \( n:m \).
\( 3n + 3m = n + 7m \Rightarrow 2n = 4m \Rightarrow \dfrac{n}{m} = 2 \)
Resposta: \( n:m = 2:1 \)
6. (Desafio 3) O ponto \( P \) divide o segmento \( A(-3, -2) \) e \( B(5, 6) \) de forma que sua abscissa \( x_P = 1 \). Determine a razão \( n:m \).
\( n + m = -3n + 5m \Rightarrow 4n = 4m \Rightarrow \dfrac{n}{m} = 1 \)
Resposta: \( n:m = 1:1 \) → O ponto é o ponto médio.
7. (Desafio 4 — Avançado) Encontre o ponto \( P \) que divide o segmento \( A(2, -3) \) e \( B(8, 9) \) na razão \( 1:4 \). Depois, determine a distância de \( A \) até \( P \).
\( y_P = \dfrac{-3(4) + 9(1)}{1 + 4} = \dfrac{-12 + 9}{5} = -0{,}6 \)
Agora, distância \( AP = \sqrt{(3{,}2 – 2)^2 + (-0{,}6 + 3)^2} = \sqrt{(1{,}2)^2 + (2{,}4)^2} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68 \)
Resposta: \( P(3{,}2, -0{,}6) \) e \( AP \approx 2{,}68 \)
