Dízima Periódica — Definição, Conversão e Exercícios
O que é dízima periódica
Dízima periódica é um número decimal com uma sequência infinita de algarismos que se repete após a vírgula.
Como toda dízima periódica pode ser representada por uma fração, ela faz parte do conjunto dos números racionais. Para revisar os conceitos, acesse o artigo sobre números racionais.
Tipos de dízima periódica
- Simples: a repetição começa logo após a vírgula — exemplo: \(0,\overline{3}\).
- Composta: há uma parte não periódica antes da repetição — exemplo: \(0,1\overline{6}\).
Como converter dízima periódica em fração
Para converter uma dízima periódica simples em fração:
\[
x = 0,\overline{a} \implies 10x – x = a \implies x = \dfrac{a}{9}
\]
Para converter uma dízima periódica composta:
\[
x = 0,b\overline{c} \implies 10^{t+k}x – 10^t x = \text{(b+c)} – b \implies x = \frac{\text{(b+c)} – b}{(10^{t+k}-10^t)}
\]
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Dízima simples
\[
x = 0,\overline{7} \implies 10x – x = 7 \implies 9x = 7 \implies x = \dfrac{7}{9}
\]
Exemplo 2 — Dízima composta
\[
x = 0,3\overline{81} \implies 10^{3}x – 10^1x = 381 – 3 \implies 990x = 378 \implies x = \dfrac{378}{990} = \dfrac{21}{55}
\]
Exercícios propostos
- Converta \(0,\overline{45}\) em fração.
- Transforme \(2,\overline{03}\) em fração.
- Converta \(0,12\overline{34}\) em fração.
- Explique por que toda dízima periódica é um número racional.
Gabarito
1) \(x = 0,\overline{45} \implies x = 5/11\).
2) \(x = 2,\overline{03} \implies x = 67/33\).
3) \(x = 0,12\overline{34} \implies x = 611/4950\).
4) Porque toda dízima periódica pode ser expressa como fração.
