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Números Racionais e Dízimos Periódicos — Conceito, Exemplos e Exercícios
O que são números racionais
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como fração:
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\[
\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{p}{q} \,\middle|\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}^*, q \neq 0 \right\}
\]
Isso significa que todo número racional pode ser escrito como um número decimal finito ou periódico.
Classificação dos decimais
- Decimais exatos: terminam após algumas casas. Ex: \(\dfrac{1}{4}=0,25\).
- Dízimos periódicos: apresentam repetição infinita de algarismos.
- Decimais não periódicos: representam números irracionais.
O que são dízimos periódicos
São números decimais com uma sequência infinita de algarismos que se repete. Classificam-se em:
- Dízimos periódicos simples: a repetição começa logo após a vírgula.
Exemplo: \(\dfrac{1}{3} = 0,\overline{3}\). - Dízimos periódicos compostos: há uma parte não periódica antes da repetição.
Exemplo: \(\dfrac{25}{66} = 0,37\overline{87}\).
Conversão de dízimo periódico para fração
Para converter um dízimo periódico simples, usamos:
\[
x = 0,\overline{a} \implies 10x – x = a \implies x = \dfrac{a}{9}
\]
Para dízimos periódicos compostos:
\[
x = 0,b\overline{c} \implies 10^{t+r}x – 10^t x = c \implies x = \dfrac{\text{Número total} – \text{Parte não periódica}}{99\ldots 00}
\]
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Dízimo periódico simples
Transforme \(x = 0,\overline{7}\) em fração:
\[
10x – x = 7 \implies 9x = 7 \implies x = \dfrac{7}{9}
\]
Exemplo 2 — Dízimo periódico composto
Converta \(x = 2,3\overline{81}\) em fração:
\[
1000x – 10x = 2381 – 23 \implies 990x = 2358 \implies x = \dfrac{2358}{990} = \dfrac{393}{165}
\]
Exercícios propostos
- Converta \(0,\overline{45}\) para fração.
- Escreva \(\dfrac{7}{12}\) na forma decimal e classifique-o.
- Dê um exemplo de dízimo periódico composto.
Gabarito
1) \(x = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}\).
2) \(\dfrac{7}{12}=0,58\overline{3}\) → dízimo periódico composto.
3) Exemplo: \(0,7\overline{21}\).
Leituras relacionadas
Resumo e materiais
- ✔ Números racionais: podem ser expressos como fração.
- ✔ Dízimos periódicos simples e compostos.
- ✔ Métodos práticos de conversão entre fração e decimal.
