Dodecaedro (regular)
O dodecaedro regular é um dos cinco Sólidos de Platão. Ele é formado por 12 faces, todas pentágonos regulares, que se unem de 3 em 3 em cada vértice. Possui 30 arestas e 20 vértices, satisfazendo a relação de Euler \(V-E+F=2\) → \(20-30+12=2\).
Notação e símbolos
- \(a\) — comprimento da aresta (lado do pentágono).
- \(A_t\) — área total da superfície.
- \(V\) — volume.
- \(R\) — raio da esfera circunscrita (centro → vértice).
- \(r\) — raio da esfera inscrita (centro → plano de uma face).
- \(\varphi\) — número de ouro \( \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618\).
Fórmulas do dodecaedro regular
Área de um pentágono regular de lado \(a\): \(\displaystyle A_p=\frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt5}\).
Área total: \(\displaystyle A_t=12A_p=\boxed{\,3a^2\sqrt{25+10\sqrt5}\,}\).
Volume: \(\displaystyle \boxed{\,V=\frac{15+7\sqrt5}{4}\,a^3\,}\).
Raios: \(\displaystyle \boxed{\,R=\frac{a}{4}\sqrt{3}\,(1+\sqrt5)=\frac{a}{2}\,\varphi\sqrt{3}\,}\), \(\displaystyle \boxed{\,r=\frac{a}{20}\sqrt{250+110\sqrt5}\,}\).
Ângulos: o ângulo interno do pentágono é \(108^\circ\). O ângulo diedro entre faces do dodecaedro é \(\delta\) tal que \(\cos\delta=-\dfrac{1}{\sqrt5}\) → \(\delta\approx 116{,}565^\circ\).
Exemplo numérico rápido
Para \(a=6\) cm:
- \(A_t=3(6)^2\sqrt{25+10\sqrt5}\approx \mathbf{743{,}25\ \text{cm}^2}\).
- \(V=\dfrac{15+7\sqrt5}{4}\,(6)^3\approx \mathbf{1655{,}23\ \text{cm}^3}\).
- \(R=\dfrac{6}{4}\sqrt3(1+\sqrt5)\approx \mathbf{8{,}41\ \text{cm}}\) e \(r=\dfrac{6}{20}\sqrt{250+110\sqrt5}\approx \mathbf{6{,}68\ \text{cm}}\).
Geometria, simetria e dualidade
O dodecaedro tem simetria icosaédrica (a mesma do icosaedro) e, de fato, é o dual do icosaedro: vértices de um correspondem a faces do outro e vice-versa. Pentágonos são faces “ricas” em número de ouro; muitas medidas do dodecaedro aparecem em fórmulas com \(\varphi\).
Planificação (net)
Uma planificação comum usa uma “coroa” com 5 pentágonos ligados e, ao redor, os outros 7. Há dezenas de planificações diferentes — escolha a que melhor distribui abas de cola e minimize deformações na montagem.
Para planificações e montagens de outros sólidos, veja: Planificação do Octaedro e a página Sólidos de Platão.
Links úteis (internos)
- Sólidos de Platão • Octaedro • Hexaedro (cubo) • Icosaedro
- Exercício Octaedro (modelo de lista com soluções em abre/fecha)
Materiais e produtos do blog
Exercícios (múltipla escolha) com solução em abre/fecha
Nos enunciados, \(a\) é o comprimento da aresta (lado do pentágono).
Q1 — Contagem básica
O dodecaedro regular possui:
- 12 faces, 24 arestas, 20 vértices
- 10 faces, 30 arestas, 20 vértices
- 12 faces, 30 arestas, 20 vértices
- 20 faces, 30 arestas, 12 vértices
\(F=12\), \(E=30\), \(V=20\). Cheque: \(20-30+12=2\).
Q2 — Área total
Calcule \(A_t\) para \(a=4\) cm.
- 280,50 cm²
- 310,00 cm²
- ≈ 330,33 cm²
- ≈ 360,00 cm²
\(A_t=3a^2\sqrt{25+10\sqrt5}=3\cdot16\cdot\sqrt{25+10\sqrt5}\approx \mathbf{330{,}33}\ \text{cm}^2\).
Q3 — Volume
Para \(a=5\) cm, o volume é aproximadamente:
- 720 cm³
- 815 cm³
- 900 cm³
- ≈ 957,89 cm³
\(V=\dfrac{15+7\sqrt5}{4}a^3\approx \dfrac{15+7\cdot2{,}236}{4}\cdot125\approx \mathbf{957{,}89}\ \text{cm}^3\).
Q4 — Raio circunscrito
Qual é \(R\) para \(a=8\) cm?
- 9,80 cm
- ≈ 11,21 cm
- ≈ 12,50 cm
- ≈ 13,90 cm
\(R=\frac{a}{4}\sqrt3(1+\sqrt5)\Rightarrow R\approx \frac{8}{4}\cdot1{,}732\cdot3{,}236\approx \mathbf{11{,}21}\ \text{cm}\).
Q5 — Raio inscrito
Para \(a=10\) cm, o raio da esfera inscrita vale aproximadamente:
- 9,95 cm
- ≈ 11,14 cm
- ≈ 12,60 cm
- ≈ 13,10 cm
\(r=\frac{a}{20}\sqrt{250+110\sqrt5}\Rightarrow r\approx \frac{10}{20}\sqrt{250+110\cdot2{,}236}\approx \mathbf{11{,}14}\ \text{cm}\).
Q6 — Escalas
A aresta aumenta 10%: \(a_{\text{novo}}=1{,}10\,a\). O que ocorre com \(A_t\) e \(V\)?
- Ambos +10%
- \(A_t\) +21% e \(V\) +33,1%
- \(A_t\) +33,1% e \(V\) +21%
- Ambos +21%
Áreas escalam com \(k^2\Rightarrow 1{,}10^2=1{,}21\). Volumes com \(k^3\Rightarrow 1{,}10^3=1{,}331\).
Q7 — Pintura
Um dodecaedro com \(a=6\) cm será pintado a R$ 0,08 por cm². Qual o custo?
- R$ 45,00
- ≈ R$ 59,46
- ≈ R$ 62,00
- ≈ R$ 71,00
De Q.Exemplo: \(A_t\approx 743{,}25\ \text{cm}^2\). Custo \(=0{,}08\cdot 743{,}25\approx \mathbf{R\$\,59{,}46}\).
Q8 — Diedro
Assinale a afirmação correta sobre o ângulo diedro \(\delta\) do dodecaedro.
- \(\cos\delta=-\dfrac12\)
- \(\cos\delta=\dfrac{1}{\sqrt5}\)
- \(\cos\delta=-\dfrac{1}{\sqrt5}\)
- \(\cos\delta=-\dfrac{\sqrt5}{2}\)
\(\cos\delta=-\dfrac{1}{\sqrt5}\Rightarrow \delta\approx 116{,}565^\circ\).
