Equação da Reta

Equação da Reta — Fórmula, Definição e Exercícios

A equação da reta é uma das representações mais importantes da Geometria Analítica, pois permite expressar matematicamente todas as retas possíveis no plano cartesiano. Com ela, podemos determinar a posição, a inclinação e o comportamento de uma reta a partir de dados simples, como um ponto conhecido e o coeficiente angular.

📘 O que é a Equação da Reta

A equação da reta é usada para representar uma linha no plano cartesiano. Ela é especialmente útil quando conhecemos o coeficiente angular \( m \) (que indica a inclinação da reta) e as coordenadas de um ponto \( (x_0, y_0) \) pertencente a essa reta.

A forma mais comum é chamada de equação ponto–inclinação e é escrita assim:

\( y – y_0 = m(x – x_0) \)

Essa equação indica que, para qualquer ponto \( (x, y) \) que pertença à reta, a variação entre as coordenadas está relacionada pela inclinação \( m \).

📐 Relação entre dois pontos

Quando conhecemos dois pontos distintos da reta, \( A(x, y_0) \) e \( B(x, y_0) \), podemos determinar o valor de \( m \) (coeficiente angular) por meio da relação:

\( m = \dfrac{y – y_0}{x – x_0} \)

Substituindo \( m \) na equação \( y – y_0 = m(x – x_0) \), obtemos a equação geral da reta que passa pelos pontos \( A \) e \( B \).

💡 Dica: A equação da reta é a base para estudar funções lineares, paralelismo e perpendicularidade entre retas.

🧩 Exemplo Resolvido 1

Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( A(1, 2) \) e \( B(4, 8) \).

Resolução:

\( m = \dfrac{8 – 2}{4 – 1} = \dfrac{6}{3} = 2 \) Substituindo \( m = 2 \) e o ponto \( A(1, 2) \): \( y – 2 = 2(x – 1) \Rightarrow y = 2x \)

Resposta: \( y = 2x \)

🧮 Exemplo Resolvido 2

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto \( P(2, 5) \) e tem coeficiente angular \( m = -3 \).

Resolução:

Usando \( y – y_0 = m(x – x_0) \): \( y – 5 = -3(x – 2) \Rightarrow y – 5 = -3x + 6 \Rightarrow y = -3x + 11 \)

Resposta: \( y = -3x + 11 \)

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📚 Exercícios de Fixação

1. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \( A(0, 0) \) e \( B(3, 6) \).

\( m = \dfrac{6 – 0}{3 – 0} = 2 \Rightarrow y – 0 = 2(x – 0) \Rightarrow y = 2x \)

2. Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( P(1, -2) \) e tem \( m = 3 \).

\( y – (-2) = 3(x – 1) \Rightarrow y + 2 = 3x – 3 \Rightarrow y = 3x – 5 \)

3 (Múltipla escolha). Qual é a equação da reta que passa pelos pontos \( A(2, 3) \) e \( B(4, 7) \)?

A) \( y = 2x – 1 \)
B) \( y = 2x + 1 \)
C) \( y = 3x – 2 \)
D) \( y = x + 2 \)

\( m = \dfrac{7 – 3}{4 – 2} = 2 \Rightarrow y – 3 = 2(x – 2) \Rightarrow y = 2x – 1 \) ✅ Alternativa correta: A)

🔥 Exercícios Desafiadores

4. (Desafio 1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( A(-2, 4) \) e \( B(3, -1) \).

\( m = \dfrac{-1 – 4}{3 – (-2)} = \dfrac{-5}{5} = -1 \Rightarrow y – 4 = -1(x + 2) \Rightarrow y = -x + 2 \)

5. (Desafio 2) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \( A(4, -3) \) e \( B(4, 5) \).

Como \( x_1 = x_2 = 4 \), a reta é vertical. Equação: \( x = 4 \)

6. (Desafio 3) Determine a equação da reta paralela a \( y = 2x + 3 \) que passa pelo ponto \( (0, -4) \).

Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular: \( m = 2 \). Usando \( y – y_0 = m(x – x_0) \): \( y – (-4) = 2(x – 0) \Rightarrow y + 4 = 2x \Rightarrow y = 2x – 4 \)

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.