Estudo do sinal da função quadrática
Neste guia você aprende a decidir rapidamente onde uma parábola é positiva (\(f(x)>0\)), negativa (\(f(x)<0\)) ou nula (\(f(x)=0\)). Revise também: função quadrática, gráfico da parábola, vértice, coeficientes \(b\) e \(c\) e o papel do coeficiente \(a\).
Resumo teórico
- Se \(a>0\) (parábola “para cima”):
- \(\Delta>0\): \(f(x)>0\) para \(x<x_1\) e \(x>x_2\); \(f(x)<0\) para \(x\in(x_1,x_2)\).
- \(\Delta=0\): \(f(x)\ge 0\) para todo \(x\) e \(f(x)=0\) só em \(x=x_1=x_2\).
- \(\Delta<0\): \(f(x)>0\) para todo \(x\) (não zera).
- Se \(a<0\) (parábola “para baixo”):
- \(\Delta>0\): \(f(x)<0\) para \(x<x_1\) e \(x>x_2\); \(f(x)>0\) para \(x\in(x_1,x_2)\).
- \(\Delta=0\): \(f(x)\le 0\) para todo \(x\) e \(f(x)=0\) só em \(x=x_1=x_2\).
- \(\Delta<0\): \(f(x)<0\) para todo \(x\).
Os pontos \(x_1\) e \(x_2\) são os zeros (raízes) obtidos por Bhaskara: \(\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
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Quero o E-book de FórmulasMétodo prático: linha de sinal
- Calcule \(\Delta\) e as raízes \(x_1\le x_2\) (se existirem).
- Marque \(x_1\) e \(x_2\) na reta real, dividindo-a em intervalos.
- Use o sinal de \(a\) e o padrão do resumo para preencher “+” e “−” em cada intervalo.
- Para inequações, inclua os pontos quando houver “\(\ge\)”/“\(\le\)” e exclua nos casos “\(>\)”/“\(<\)”.
Exemplos resolvidos (contas em coluna)
Exemplo 1 — \(f(x)=x^2-5x+6\). Estude o sinal e resolva \(f(x)\ge 0\).
Como \(a>0\) e \(\Delta>0\): \(f(x)>0\) em \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) e \(f(x)<0\) em \((2,3)\). Logo, \(f(x)\ge 0\Rightarrow x\le 2\) ou \(x\ge 3\).
Exemplo 2 — \(g(x)=-x^2+2x+3\). Estude o sinal e resolva \(g(x)\le 0\).
Com \(a<0\) e \(\Delta>0\): \(g(x)>0\) em \((-1,3)\) e \(g(x)<0\) fora. Assim, \(g(x)\le 0\Rightarrow x\in(-\infty,-1]\cup[3,\infty)\).
Exemplo 3 — \(h(x)=2x^2+4x+5\). Estude o sinal.
\(\Delta<0\) e \(a>0\) \(\Rightarrow\) \(h(x)>0\) para todo \(x\) (não zera).
Exemplo 4 — \(p(x)=x^2-6x+9\). Estude o sinal.
\(\Delta=0\) e \(a>0\) \(\Rightarrow\) \(p(x)\ge 0\) para todo \(x\) e \(p(3)=0\). (O mínimo ocorre no vértice.)
Erros comuns
- Esquecer que o sinal global fora/entre as raízes muda quando \(a\) muda.
- Confundir “\(\ge\)”/“\(\le\)” com “\(>\)”/“\(<\)” ao incluir ou excluir as raízes na resposta.
- Calcular \(\Delta\) com sinal errado de \(b\) ou \(c\).
Exercícios propostos
1) Para \(f(x)=3x^2-12x+9\): estude o sinal e resolva \(f(x)>0\).
Mostrar gabarito
Resposta: \(x\in(-\infty,1)\cup(3,\infty)\).
2) Para \(g(x)=-2x^2-8x-6\): estude o sinal e resolva \(g(x)\ge 0\).
Mostrar gabarito
Resposta: \(x\in[-3,-1]\).
