Estudo do sinal da Função Quadrática

Estudo do sinal da função quadrática (guia completo)

Estudo do sinal da função quadrática

Neste guia você aprende a decidir rapidamente onde uma parábola é positiva (\(f(x)>0\)), negativa (\(f(x)<0\)) ou nula (\(f(x)=0\)). Revise também: função quadrática, gráfico da parábola, vértice, coeficientes \(b\) e \(c\) e o papel do coeficiente \(a\).

Resumo teórico

\[ f(x)=ax^2+bx+c\quad (a\ne 0),\qquad \Delta=b^2-4ac. \]

Se \(a>0\) (parábola “para cima”):
- \(\Delta>0\): \(f(x)>0\) para \(x<x_1\) e \(x>x_2\); \(f(x)<0\) para \(x\in(x_1,x_2)\).
- \(\Delta=0\): \(f(x)\ge 0\) para todo \(x\) e \(f(x)=0\) só em \(x=x_1=x_2\).
- \(\Delta<0\): \(f(x)>0\) para todo \(x\) (não zera).
Se \(a<0\) (parábola “para baixo”):
- \(\Delta>0\): \(f(x)<0\) para \(x<x_1\) e \(x>x_2\); \(f(x)>0\) para \(x\in(x_1,x_2)\).
- \(\Delta=0\): \(f(x)\le 0\) para todo \(x\) e \(f(x)=0\) só em \(x=x_1=x_2\).
- \(\Delta<0\): \(f(x)<0\) para todo \(x\).

Os pontos \(x_1\) e \(x_2\) são os zeros (raízes) obtidos por Bhaskara: \(\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Quadro-resumo do sinal de f(x)=ax²+bx+c para a>0 e a<0 considerando Δ>0, Δ=0 e Δ<0.

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Método prático: linha de sinal

Calcule \(\Delta\) e as raízes \(x_1\le x_2\) (se existirem).
Marque \(x_1\) e \(x_2\) na reta real, dividindo-a em intervalos.
Use o sinal de \(a\) e o padrão do resumo para preencher “+” e “−” em cada intervalo.
Para inequações, inclua os pontos quando houver “\(\ge\)”/“\(\le\)” e exclua nos casos “\(>\)”/“\(<\)”.

Exemplos resolvidos (contas em coluna)

Exemplo 1 — \(f(x)=x^2-5x+6\). Estude o sinal e resolva \(f(x)\ge 0\).

\[ \begin{aligned} a&=1,\ b=-5,\ c=6\\ \Delta&=(-5)^2-4(1)(6)\\ &=25-24\\ &=1\\[6pt] x&=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{5\pm 1}{2}\\[6pt] x_1&=\frac{4}{2}=2,\qquad x_2=\frac{6}{2}=3 \end{aligned} \]

Como \(a>0\) e \(\Delta>0\): \(f(x)>0\) em \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) e \(f(x)<0\) em \((2,3)\). Logo, \(f(x)\ge 0\Rightarrow x\le 2\) ou \(x\ge 3\).

Exemplo 2 — \(g(x)=-x^2+2x+3\). Estude o sinal e resolva \(g(x)\le 0\).

\[ \begin{aligned} a&=-1,\ b=2,\ c=3\\ \Delta&=2^2-4(-1)(3)\\ &=4+12\\ &=16\\[6pt] x&=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2(-1)}\\ &=\frac{-2\pm 4}{-2}\\[6pt] x_1&= -1,\qquad x_2=3 \end{aligned} \]

Com \(a<0\) e \(\Delta>0\): \(g(x)>0\) em \((-1,3)\) e \(g(x)<0\) fora. Assim, \(g(x)\le 0\Rightarrow x\in(-\infty,-1]\cup[3,\infty)\).

Exemplo 3 — \(h(x)=2x^2+4x+5\). Estude o sinal.

\[ \begin{aligned} a&=2,\ b=4,\ c=5\\ \Delta&=4^2-4(2)(5)\\ &=16-40\\ &=-24 \end{aligned} \]

\(\Delta<0\) e \(a>0\) \(\Rightarrow\) \(h(x)>0\) para todo \(x\) (não zera).

Exemplo 4 — \(p(x)=x^2-6x+9\). Estude o sinal.

\[ \begin{aligned} a&=1,\ b=-6,\ c=9\\ \Delta&=(-6)^2-4(1)(9)\\ &=36-36\\ &=0\\ x_1&=x_2=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3 \end{aligned} \]

\(\Delta=0\) e \(a>0\) \(\Rightarrow\) \(p(x)\ge 0\) para todo \(x\) e \(p(3)=0\). (O mínimo ocorre no vértice.)

Erros comuns

Esquecer que o sinal global fora/entre as raízes muda quando \(a\) muda.
Confundir “\(\ge\)”/“\(\le\)” com “\(>\)”/“\(<\)” ao incluir ou excluir as raízes na resposta.
Calcular \(\Delta\) com sinal errado de \(b\) ou \(c\).

Exercícios propostos

1) Para \(f(x)=3x^2-12x+9\): estude o sinal e resolva \(f(x)>0\).

Mostrar gabarito

\[ \begin{aligned} a&=3,\ b=-12,\ c=9\\ \Delta&=(-12)^2-4(3)(9)=144-108=36\\ x&=\frac{12\pm 6}{2\cdot 3}\\ x_1&=1,\ \ x_2=3\\ a&>0 \Rightarrow f(x)>0 \text{ fora do intervalo }(1,3) \end{aligned} \]

Resposta: \(x\in(-\infty,1)\cup(3,\infty)\).

2) Para \(g(x)=-2x^2-8x-6\): estude o sinal e resolva \(g(x)\ge 0\).

Mostrar gabarito

\[ \begin{aligned} a&=-2,\ b=-8,\ c=-6\\ \Delta&=(-8)^2-4(-2)(-6)=64-48=16\\ x&=\frac{-(-8)\pm 4}{2(-2)}=\frac{8\pm 4}{-4}\\ x_1&=-1,\ \ x_2=-3\ (\text{ordenando: }x_1=-3,\ x_2=-1)\\ a&<0 \Rightarrow g(x)\ge 0 \text{ apenas entre as raízes} \end{aligned} \]

Resposta: \(x\in[-3,-1]\).

Continue aprendendo

Função Quadrática (guia) Gráfico da função quadrática Zeros (raízes) da quadrática Vértice da parábola Valor máximo e mínimo Coeficiente \(a\) Coeficientes \(b\) e \(c\) Pontos notáveis A parábola (foco e diretriz)

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.