Área da Esfera — 15 exercícios (múltipla escolha)

Fórmula: $A=4\pi r^{2}$. Se precisar revisar a teoria, veja Esfera, Exercício Esfera e a família de sólidos em Corpos redondos. Para comparar com poliedros, confira Cubo e Paralelepípedo.

Use $ \pi \approx 3{,}1416 $ quando o enunciado pedir aproximação. Todos os enunciados e cálculos abaixo foram revisados.

1) Básico e direto. Uma esfera tem raio $r=2\ \text{cm}$. Qual é a sua área exata?

$12\pi\ \text{cm}^{2}$
$16\pi\ \text{cm}^{2}$
$20\pi\ \text{cm}^{2}$
$24\pi\ \text{cm}^{2}$

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$A=4\pi r^{2}$

$A=4\pi\cdot 2^{2}$

$A=4\pi\cdot 4$

$A=\boxed{16\pi\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: B.

2) Diâmetro informado. Uma esfera tem diâmetro $10\ \text{cm}$. Determine sua área exata.

$50\pi\ \text{cm}^{2}$
$75\pi\ \text{cm}^{2}$
$100\pi\ \text{cm}^{2}$
$125\pi\ \text{cm}^{2}$

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$r=\dfrac{d}{2}=5\ \text{cm}$

$A=4\pi r^{2}=4\pi\cdot 5^{2}$

$A=4\pi\cdot 25$

$A=\boxed{100\pi\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: C.

3) Raio a partir da área. A área de uma esfera é $36\pi\ \text{cm}^{2}$. O raio vale:

$2\ \text{cm}$
$3\ \text{cm}$
$4\ \text{cm}$
$6\ \text{cm}$

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$4\pi r^{2}=36\pi$

$r^{2}=9$

$r=\boxed{3\ \text{cm}}$

Resposta: B.

4) Unidades em m² (aproximação). Uma esfera de raio $0{,}5\ \text{m}$ tem área aproximada, em m², igual a:

$2{,}62$
$3{,}14$
$3{,}54$
$6{,}28$

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$A=4\pi\cdot 0{,}5^{2}$

$A=4\pi\cdot 0{,}25=\pi$

$A\approx \boxed{3{,}14\ \text{m}^{2}}$

Resposta: B.

5) Esfera inscrita no cubo. Um cubo de aresta $12\ \text{cm}$ contém uma esfera perfeitamente inscrita. Qual é a área dessa esfera?

$100\pi\ \text{cm}^{2}$
$144\pi\ \text{cm}^{2}$
$288\pi\ \text{cm}^{2}$
$400\pi\ \text{cm}^{2}$

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Inscrita ⇒ $r=\dfrac{12}{2}=6\ \text{cm}$

$A=4\pi\cdot 6^{2}=4\pi\cdot 36$

$A=\boxed{144\pi\ \text{cm}^{2}}\approx 452{,}39\ \text{cm}^{2}$

Resposta: B.

6) Encontrando o diâmetro. Sabendo que a área de uma esfera é $324\pi\ \text{cm}^{2}$, calcule o seu diâmetro.

$14\ \text{cm}$
$16\ \text{cm}$
$18\ \text{cm}$
$20\ \text{cm}$

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$4\pi r^{2}=324\pi\Rightarrow r^{2}=81$

$r=9\ \text{cm}$

$d=2r=\boxed{18\ \text{cm}}$

Resposta: C.

7) Variação percentual (aumento do raio). Uma bola teve o raio aumentado em $15\%$. O aumento aproximado da área é de:

$15\%$
$21\%$
$32{,}25\%$
$45\%$

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Fator do raio: $1{,}15$

Área escala com $r^{2}$: $1{,}15^{2}=1{,}3225$

Acréscimo $=1{,}3225-1=\boxed{32{,}25\%}$

Resposta: C.

8) Custo de pintura. Será pintada uma esfera metálica de raio $0{,}8\ \text{m}$. O custo é de R$ 25,00 por m² de área. Qual será o gasto aproximado?

R$ 188,50
R$ 201,05
R$ 213,60
R$ 251,30

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$A=4\pi\cdot 0{,}8^{2}=4\pi\cdot 0{,}64=2{,}56\pi\ \text{m}^{2}$

$A\approx 2{,}56\cdot 3{,}1416=8{,}042\ \text{m}^{2}$

$\text{Custo}\approx 25\cdot 8{,}042=\boxed{\text{R\$ }201{,}05}$

Resposta: B.

9) Revestimento de bola esportiva. Uma bola tem diâmetro $22\ \text{cm}$. O revestimento pesa $0{,}5\ \text{g/cm}^{2}$. Qual é a massa aproximada de material utilizada?

$0{,}61\ \text{kg}$
$0{,}76\ \text{kg}$
$0{,}92\ \text{kg}$
$1{,}02\ \text{kg}$

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$r=\dfrac{22}{2}=11\ \text{cm}$

$A=4\pi\cdot 11^{2}=484\pi\ \text{cm}^{2}$

$A\approx 484\cdot 3{,}1416=1\,520{,}53\ \text{cm}^{2}$

$\text{massa}=0{,}5\cdot 1\,520{,}53\approx \boxed{0{,}76\ \text{kg}}$

Resposta: B.

10) Cúpula hemisférica (superfície curva). Uma cobertura em forma de hemisfério tem raio $12\ \text{m}$. Qual é a área externa curva a ser impermeabilizada?

$754\ \text{m}^{2}$
$905\ \text{m}^{2}$
$1\,152\ \text{m}^{2}$
$1\,810\ \text{m}^{2}$

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Hemisfério (sem base): $A=\dfrac{1}{2}\cdot 4\pi r^{2}=2\pi r^{2}$

$A=2\pi\cdot 12^{2}=2\pi\cdot 144=288\pi\ \text{m}^{2}$

$A\approx \boxed{905\ \text{m}^{2}}$

Resposta: B.

11) Conjunto de mini-esferas. Seis esferas idênticas, cada uma com raio $2{,}5\ \text{cm}$, serão embrulhadas. Qual é a área total do conjunto?

$420\ \text{cm}^{2}$
$471\ \text{cm}^{2}$
$502\ \text{cm}^{2}$
$565\ \text{cm}^{2}$

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Por esfera: $A=4\pi\cdot 2{,}5^{2}=25\pi\ \text{cm}^{2}$

Total: $6\cdot 25\pi=150\pi\ \text{cm}^{2}$

Aproximação: $150\cdot 3{,}1416=\boxed{471\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: B.

12) De área para variação no raio. Após polimento, a área de uma esfera aumentou $26{,}5625\%$. O raio cresceu aproximadamente:

$10{,}0\%$
$12{,}5\%$
$13{,}3\%$
$15{,}0\%$

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$\dfrac{A_{\text{novo}}}{A}=1{,}265625=\left(\dfrac{r_{\text{novo}}}{r}\right)^{2}$

$\dfrac{r_{\text{novo}}}{r}=\sqrt{1{,}265625}=1{,}125$

Variação $=12{,}5\%\Rightarrow \boxed{12{,}5\%}$

Resposta: B.

13) Arquimedes: comparação com cilindro. Compare uma esfera de raio $r$ com um cilindro de mesmo raio e altura $2r$. A área lateral do cilindro é:

menor que a área da esfera
igual à área da esfera
1,5 vez maior que a área da esfera
o dobro da área da esfera

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Área lateral do cilindro: $A_L=2\pi r h=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^{2}$

Área da esfera: $A_E=4\pi r^{2}$

$\Rightarrow A_L=A_E$. Igual.

Resposta: B.

14) Projeto de luminária. Uma cúpula esférica precisa ter área mínima de $1{,}00\ \text{m}^{2}$. Qual deve ser o raio mínimo da esfera?

$0{,}25\ \text{m}$
$0{,}28\ \text{m}$
$0{,}30\ \text{m}$
$0{,}35\ \text{m}$

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$A=4\pi r^{2}\ge 1\Rightarrow r\ge \sqrt{\dfrac{1}{4\pi}}$

$r\ge \sqrt{\dfrac{1}{12{,}5664}}=\sqrt{0{,}079577}=0{,}2821\ \text{m}$

Raio mínimo ≈ $\boxed{0{,}28\ \text{m}}$

Resposta: B.

15) Isolamento térmico em satélite. Um módulo esférico de raio $0{,}90\ \text{m}$ será recoberto com duas camadas completas de manta térmica. Cada rolo cobre $12\ \text{m}^{2}$. Despreze perdas. Quantos rolos são necessários?

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Área de uma esfera: $A=4\pi r^{2}=4\pi\cdot 0{,}9^{2}=3{,}24\pi\ \text{m}^{2}$

Aproximação: $A\approx 3{,}24\cdot 3{,}1416=10{,}18\ \text{m}^{2}$

Duas camadas ⇒ $2\cdot 10{,}18=20{,}36\ \text{m}^{2}$

Rolos $=\left\lceil\dfrac{20{,}36}{12}\right\rceil=\boxed{2}$

Resposta: B.