Exercício Cone — 15 questões com soluções

Significado dos símbolos nos enunciados: raio $r$ (da base circular), altura $h$ (distância do vértice ao plano da base), geratriz $g$ (lado inclinado). No cone reto, $ \displaystyle g=\sqrt{r^{2}+h^{2}} $. Fórmulas: $A_b=\pi r^{2}$, $A_\ell=\pi r g$, $A_t=A_\ell+A_b=\pi r(g+r)$, $V=\tfrac13\pi r^{2}h$.

Para revisar a teoria, veja Corpos redondos, Esfera e compare com poliedros (Cubo, Paralelepípedo). Para listas de sólidos relacionadas, confira também Exercício Esfera.

Dica rápida

Se o enunciado trouxer diâmetro $d$, lembre que $r=\dfrac{d}{2}$.

Sempre use áreas em unidades quadradas (cm², m²) e volume em cúbicas (cm³, m³).

1) Volume direto. Em um cone circular reto com raio $r=3\ \text{cm}$ e altura $h=4\ \text{cm}$, qual é o volume $V$?

$9\pi\ \text{cm}^{3}$
$10\pi\ \text{cm}^{3}$
$12\pi\ \text{cm}^{3}$
$15\pi\ \text{cm}^{3}$

Ver solução

$V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$

$V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot 4$

$V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4$

$V=\boxed{12\pi\ \text{cm}^{3}}$

Resposta: C.

2) Área lateral com geratriz. Para um cone reto com raio $r=5\ \text{cm}$ e altura $h=12\ \text{cm}$, calcule a geratriz $g$ e a área lateral $A_\ell$.

$g=12,\ A_\ell=60\pi\ \text{cm}^{2}$
$g=13,\ A_\ell=65\pi\ \text{cm}^{2}$
$g=13,\ A_\ell=60\pi\ \text{cm}^{2}$
$g=12,\ A_\ell=65\pi\ \text{cm}^{2}$

Ver solução

$g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=13$

$A_\ell=\pi r g=\pi\cdot 5\cdot 13=\boxed{65\pi\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: B.

3) Descobrindo $g$ e $h$ via área total. Num cone com raio $r=6\ \text{cm}$ e área total $A_t=96\pi\ \text{cm}^{2}$, determine $g$ e $h$.

$g=8,\ h=\sqrt{28}$
$g=10,\ h=8$
$g=12,\ h=6$
$g=10,\ h=6$

Ver solução

$A_t=\pi r(g+r)=\pi\cdot 6(g+6)=96\pi$

$g+6=16\Rightarrow g=10$

$h=\sqrt{g^{2}-r^{2}}=\sqrt{100-36}=\boxed{8\ \text{cm}}$

Resposta: B.

4) Usando diâmetro e geratriz. Um cone metálico tem diâmetro $d=10\ \text{cm}$ (logo, raio $r=5\ \text{cm}$) e geratriz $g=13\ \text{cm}$. Qual é a área total $A_t$?

$80\pi\ \text{cm}^{2}$
$85\pi\ \text{cm}^{2}$
$90\pi\ \text{cm}^{2}$
$95\pi\ \text{cm}^{2}$

Ver solução

$A_\ell=\pi r g=\pi\cdot 5\cdot 13=65\pi$

$A_b=\pi r^{2}=25\pi$

$A_t=65\pi+25\pi=\boxed{90\pi\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: C.

5) Capacidade de um cone (aproximação). Um copo em forma de cone tem raio $r=3\ \text{cm}$ e altura $h=12\ \text{cm}$. Qual o volume em cm³? (use $ \pi\approx 3{,}1416 $)

$108{,}0$
$113{,}1$
$120{,}0$
$125{,}7$

Ver solução

Exato: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 12=36\pi$

Aprox.: $36\times 3{,}1416\approx \boxed{113{,}1\ \text{cm}^{3}}$

Resposta: B.

6) Encontrando $g$ e $h$ a partir de $A_\ell$. Para um cone com raio $r=3\ \text{cm}$ e área lateral $A_\ell=36\pi\ \text{cm}^{2}$, determine $g$ e $h$.

$g=12,\ h=3\sqrt{15}$
$g=9,\ h=12$
$g=12,\ h=9$
$g=15,\ h=12$

Ver solução

De $A_\ell=\pi r g$: $36\pi=\pi\cdot 3\cdot g\Rightarrow g=\boxed{12}$

$h=\sqrt{g^{2}-r^{2}}=\sqrt{144-9}=\boxed{3\sqrt{15}\ \text{cm}}\approx 11{,}62$

Resposta: A.

7) Planificação. Um cone tem raio $r=4\ \text{cm}$ e geratriz $g=10\ \text{cm}$. Qual é o ângulo do setor (em graus) na planificação da lateral?

$120^\circ$
$135^\circ$
$144^\circ$
$160^\circ$

Ver solução

$\alpha=360^\circ\cdot \dfrac{r}{g}=360^\circ\cdot \dfrac{4}{10}=\boxed{144^\circ}$

Resposta: C.

8) Tronco do cone — volume. Um tronco de cone possui raios $r_1=6\ \text{cm}$ e $r_2=4\ \text{cm}$, e altura $h=8\ \text{cm}$. Calcule o volume $V$.

$\dfrac{544}{3}\pi\ \text{cm}^{3}$
$\dfrac{608}{3}\pi\ \text{cm}^{3}$
$\dfrac{640}{3}\pi\ \text{cm}^{3}$
$\dfrac{704}{3}\pi\ \text{cm}^{3}$

Ver solução

$V=\dfrac{1}{3}\pi h\,(r_1^{2}+r_1r_2+r_2^{2})$

$V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot (36+24+16)$

$V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot 76=\boxed{\dfrac{608}{3}\pi\ \text{cm}^{3}}$

Resposta: B.

9) Encontrando a altura pelo volume. Um cone tem volume $V=96\pi\ \text{cm}^{3}$ e raio $r=4\ \text{cm}$. Qual é a altura $h$?

$12\ \text{cm}$
$16\ \text{cm}$
$18\ \text{cm}$
$24\ \text{cm}$

Ver solução

$96\pi=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot h$

$96=\dfrac{16h}{3}\Rightarrow h=\dfrac{288}{16}=\boxed{18\ \text{cm}}$

Resposta: C.

10) Pintura (base + lateral). Um cone com raio $r=2{,}5\ \text{m}$ e altura $h=6\ \text{m}$ será pintado externamente. O preço é R$ 40,00/m². Qual é o custo?

R$ 2.523,00
R$ 2.827,40
R$ 3.100,80
R$ 3.456,00

Ver solução

$g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2{,}5^{2}+6^{2}}=6{,}5$

$A_\ell=\pi r g=16{,}25\pi\ \text{m}^{2}$

$A_b=\pi r^{2}=6{,}25\pi\ \text{m}^{2}$

$A_t=22{,}5\pi\approx 70{,}685\ \text{m}^{2}$

$\text{Custo}\approx 70{,}685\times 40=\boxed{\text{R\$ }2.827{,}40}$

Resposta: B.

11) Invertendo: dados $g$ e $h$. Em um cone com geratriz $g=15\ \text{cm}$ e altura $h=9\ \text{cm}$, determine o raio $r$ e a área total $A_t$.

$r=12,\ A_t=324\pi\ \text{cm}^{2}$
$r=12,\ A_t=300\pi\ \text{cm}^{2}$
$r=10,\ A_t=300\pi\ \text{cm}^{2}$
$r=10,\ A_t=320\pi\ \text{cm}^{2}$

Ver solução

$r=\sqrt{g^{2}-h^{2}}=\sqrt{225-81}=12\ \text{cm}$

$A_t=\pi r(g+r)=\pi\cdot 12(15+12)=\boxed{324\pi\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: A.

12) Escala. Ao multiplicar raio $r$ por 2 e altura $h$ por 3, o volume do cone fica:

3 vezes maior
6 vezes maior
12 vezes maior
24 vezes maior

Ver solução

$V\propto r^{2}h\Rightarrow (2^{2}\cdot 3)=\boxed{12\ \text{vezes maior}}$

Resposta: C.

13) Somente a lateral (custo). Um cone com raio $r=2\ \text{m}$ e altura $h=3\ \text{m}$ será pintado apenas na lateral. O preço é R$ 25,00/m². Qual o custo aproximado?

R$ 522,00
R$ 566,30
R$ 612,40
R$ 640,00

Ver solução

$g=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}\approx 3{,}6055$

$A_\ell=\pi r g\approx \pi\cdot 2\cdot 3{,}6055\approx 22{,}651\ \text{m}^{2}$

$\text{Custo}\approx 22{,}651\times 25=\boxed{\text{R\$ }566{,}30}$

Resposta: B.

14) Invertendo a planificação. A planificação da lateral é um setor de raio $g=10\ \text{cm}$ e ângulo $\alpha=120^\circ$. Determine o raio da base $r$ e a área lateral $A_\ell$.

$r=\dfrac{10}{3},\ A_\ell=\dfrac{100\pi}{3}$
$r=4,\ A_\ell=40\pi$
$r=5,\ A_\ell=50\pi$
$r=3,\ A_\ell=30\pi$

Ver solução

$\dfrac{\alpha}{360}=\dfrac{r}{g}\Rightarrow r=\dfrac{\alpha}{360}\,g=\dfrac{120}{360}\cdot 10=\dfrac{10}{3}\ \text{cm}$

$A_\ell=\pi r g=\pi\cdot \dfrac{10}{3}\cdot 10=\boxed{\dfrac{100\pi}{3}\ \text{cm}^{2}}$

Resposta: A.

15) Massa de um monte cônico de areia. Um monte de areia em forma de cone tem raio $r=1{,}2\ \text{m}$ e altura $h=0{,}8\ \text{m}$. A densidade é $1600\ \text{kg/m}^{3}$. Qual é a massa aproximada do monte?