Exercício Corpos Redondos – 15 situações-problema (múltipla escolha)
Pratique esfera, cilindro, cone e tronco de cone com enunciados reais, alternativas e soluções em abre/fecha. Precisa revisar as fórmulas? Use os links rápidos: Esfera • Cilindro • Cone / Tronco.
Convenções: \(r\) = raio, \(d=2r\) = diâmetro, \(h\) = altura, \(g\) = geratriz (cone), \(\pi\approx3{,}1416\). Arredonde como indicado.
1) Lata de refrigerante (capacidade)
Uma lata cilíndrica tem raio interno 3,5 cm e altura 12 cm. Qual é a capacidade em litros?
- 0,40 L
- 0,46 L
- 0,50 L
- 0,60 L
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Volume do cilindro: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot3{,}5^2\cdot12=\pi\cdot147\approx 461{,}8\ \text{cm}^3=0{,}4618\ \text{L}\). Alternativa B.
2) Rótulo da embalagem
Uma lata tem raio 3,0 cm e altura 10,0 cm. Qual a área do rótulo (somente a área lateral)?
- 150 cm²
- 175 cm²
- 188,5 cm²
- 210 cm²
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Área lateral: \(A_L=2\pi r h=2\pi\cdot3\cdot10=60\pi\approx \mathbf{188{,}5\ \text{cm}^2}\). Alternativa C.
3) Copo de sorvete (cone)
Um copo cônico tem raio 3,5 cm e altura 9 cm. Qual é a capacidade?
- 96 cm³
- 110 cm³
- 115,5 cm³
- 130 cm³
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No cone, \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot3{,}5^2\cdot9=36{,}75\pi\approx \mathbf{115{,}5\ \text{cm}^3}\). Alternativa C.
4) Bola de treino (área)
Uma bola esférica tem diâmetro 16 cm. Qual é a área da superfície?
- 502 cm²
- 704 cm²
- 804 cm²
- 904 cm²
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Na esfera, \(r=8\). Área \(A=4\pi r^2=256\pi\approx \mathbf{804\ \text{cm}^2}\). Alternativa C.
5) Pintura da esfera (custo)
Uma esfera de raio 11 cm será pintada. O pintor cobra R$ 0,05 por cm². Qual o custo aproximado?
- R$ 60,00
- R$ 70,00
- R$ 76,00
- R$ 82,00
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Área \(A=4\pi r^2=484\pi\approx 1\,520{,}5\ \text{cm}^2\). Custo \(=0{,}05A\approx \mathbf{R\$ 76{,}03}\). Alternativa C.
6) Mesmo volume, menor material (otimização)
Entre todos os cilindros com volume fixo, qual relação \(h/r\) minimiza a área total (lateral + tampas)?
- 0,5
- 1
- 2
- 3
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Resultado clássico: área mínima quando \(h=2r\). Logo \(h/r=\mathbf{2}\). Alternativa C.
7) Copo “long drink” (tronco de cone)
Um copo tem formato de tronco de cone com raio superior \(R=4\) cm, inferior \(r=3\) cm e altura \(h=10\) cm. Qual é a capacidade?
- 355 cm³
- 375 cm³
- 388 cm³
- 405 cm³
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\(V=\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\dfrac{10\pi}{3}(16+12+9)=\dfrac{370\pi}{3}\approx \mathbf{387{,}9\ \text{cm}^3}\). Alternativa C.
8) Funil metálico (área lateral)
Um funil é um cone com \(r=6\) cm e geratriz \(g=10\) cm. Qual é a área lateral?
- 150π cm²
- 60π cm²
- 40π cm²
- 30π cm²
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\(A_L=\pi r g=\pi\cdot6\cdot10=\mathbf{60\pi\ \text{cm}^2}\). Alternativa B.
9) Tampa esférica (calota)
Em uma esfera de raio \(R=12\) cm recorta-se uma calota esférica de altura \(h=3\) cm. Qual par (área, volume) da calota é correto?
- \(72\pi\ \text{cm}^2;\ 99\pi\ \text{cm}^3\)
- \(60\pi;\ 90\pi\)
- \(72\pi;\ 90\pi\)
- \(60\pi;\ 99\pi\)
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Calota: área \(=2\pi R h=72\pi\). Volume \(=\dfrac{\pi h^2(3R-h)}{3}=99\pi\). Alternativa A.
10) Reaproveitando o rótulo
Duas latas têm o mesmo volume. Lata A: \(r=4\) cm, \(h=10\) cm. Lata B: \(r=5\) cm, \(h=6{,}4\) cm. Qual usa menos rótulo (área lateral)?
- A
- B
- Iguais
- Indecidível
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Áreas laterais: A → \(2\pi rh=80\pi\); B → \(2\pi\cdot5\cdot6{,}4=64\pi\). B usa menos rótulo.
11) Altura do cone a partir de \(A_L\)
Em um cone, a área lateral é \(150\pi\ \text{cm}^2\) e o raio é \(r=5\) cm. Qual é a altura \(h\)?
- 25,00 cm
- 26,93 cm
- 28,00 cm
- 29,58 cm
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\(A_L=\pi r g \Rightarrow g=150\pi/(\pi\cdot5)=30\). \(h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{900-25}=\sqrt{875}\approx \mathbf{29{,}58\ \text{cm}}\). Alternativa D.
12) Esfera inscrita no cilindro
Uma esfera está inscrita num cilindro (toca as tampas e a parede lateral). Que fração do volume do cilindro é ocupada pela esfera?
- 1/2
- 2/3
- 3/4
- 4/5
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Para raio \(r\): cilindro \(V_c=2\pi r^3\) (pois \(h=2r\)); esfera \(V_s=\frac{4}{3}\pi r^3\). Razão \(V_s/V_c=(\frac{4}{3})/2=\mathbf{2/3}\). Alternativa B.
13) Tigela hemisférica
Uma tigela é uma semiesfera de raio \(7\) cm. Qual é a capacidade?
- 650 cm³
- 700 cm³
- 718 cm³
- 760 cm³
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Hemisfério: \(V=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{2}{3}\pi\cdot343\approx \mathbf{718\ \text{cm}^3}\). Alternativa C.
14) Tanque capsular
Um tanque tem corpo cilíndrico de raio \(1{,}5\) m e comprimento \(4{,}0\) m, com duas semiesferas nas extremidades de mesmo raio. Qual é o volume total?
- 36π m³
- 40π m³
- 42,4 m³
- 45,0 m³
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Cilindro: \(V_c=\pi r^2 L=\pi\cdot2{,}25\cdot4=9\pi\). Esferas (2 hemisf. = 1 esfera): \(V_e=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot3{,}375=4{,}5\pi\). Total \(=13{,}5\pi\approx \mathbf{42{,}41\ \text{m}^3}\). Alternativa C.
15) Cone de maior volume com geratriz fixa
Entre cones com geratriz fixa \(g\), qual relação entre \(r\) e \(g\) maximiza o volume?
- \(r=g/2\)
- \(r=g/\sqrt{2}\)
- \(r=g/\sqrt{3}\)
- \(r=g/3\)
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Com \(h=\sqrt{g^2-r^2}\), maximize \(V\propto r^2\sqrt{g^2-r^2}\). Derivando e igualando a zero, obtém-se \(r=\mathbf{g/\sqrt{3}}\). Alternativa C.
