Nesta coleção de exercícios de pontos notáveis do triângulo você pratica baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro com enunciados objetivos e soluções passo a passo (ótimas para celular). Se precisar revisar a teoria antes de resolver, consulte o guia Pontos Notáveis do Triângulo e os artigos específicos: medianas e baricentro (razão 2:1), bissetrizes internas e incentro (círculo inscrito), mediatrizes e circuncentro (círculo circunscrito) e alturas e ortocentro (posição por tipo de triângulo). Para mais prática, acesse também a lista completa de exercícios de pontos notáveis.
Exercício 1 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
- O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
- O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
- O incentro é interno ao triângulo.
- O baricentro é interno ao triângulo.
- O ortocentro é interno ao triângulo.
- O circuncentro é interno ao triângulo.
- O baricentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Ver solução
Use o guia Pontos Notáveis do Triângulo para revisar as definições.
- a) V — O incentro é a interseção das bissetrizes internas e é o centro do círculo inscrito. Bissetrizes e Incentro.
- b) V — O circuncentro é a interseção das mediatrizes dos lados e é o centro do círculo circunscrito. Mediatrizes e Circuncentro.
- c) V — O incentro é sempre interno (equidistante dos lados). Saiba mais.
- d) V — O baricentro (encontro das medianas) é sempre interno e divide cada mediana em 2:1. Medianas e Baricentro.
- e) F — O ortocentro só é interno em triângulos acutângulos; em retângulos coincide com o vértice do ângulo reto e em obtusângulos fica externo. Alturas e Ortocentro.
- f) F — O circuncentro é interno apenas em triângulos acutângulos; em retângulos está no meio da hipotenusa e em obtusângulos é externo. Revisar.
- g) F — O centro da circunferência inscrita é o incentro, não o baricentro. Ver definição.
Gabarito: a) V, b) V, c) V, d) V, e) F, f) F, g) F.
Exercício 2 – Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
- O ortocentro e o baricentro são coincidentes;
- O incentro e o circuncentro são coincidentes;
- O ortocentro é um dos vértices;
- O ortocentro é externo;
- O circuncentro é externo;
- O circuncentro está em um dos lados;
- O ortocentro é um ponto interno.
Ver solução
- a) Triângulo equilátero. Em equiláteros, todas as linhas notáveis coincidem: H = G = I = O. Guia geral.
- b) Triângulo equilátero. Logo, incentro e circuncentro também coincidem. Incentro • Circuncentro.
- c) Triângulo retângulo. O ortocentro é o próprio vértice do ângulo reto. Alturas e H.
- d) Triângulo obtusângulo. Para ângulo obtuso, as alturas se interceptam fora: H externo. Posições de H.
- e) Triângulo obtusângulo. O circuncentro (mediatrizes) fica externo. Revisar O.
- f) Triângulo retângulo. O circuncentro é o ponto médio da hipotenusa (sobre um lado). Circuncentro no retângulo.
- g) Triângulo acutângulo. Com todos os ângulos agudos, o ortocentro é interno. Ver mais.
Gabarito resumido: a) Equilátero • b) Equilátero • c) Retângulo • d) Obtusângulo • e) Obtusângulo • f) Retângulo • g) Acutângulo.
Exercício 3 – Considere os segmentos formados pelas três alturas, pelas três medianas e pelas três bissetrizes internas de um triângulo (total de até 9 segmentos). Quantos desses segmentos, dois a dois distintos, teremos:
- no triângulo equilátero;
- no triângulo isósceles não equilátero;
- no triângulo escaleno.
Ver solução
Ideia-chave: coincidências entre linhas notáveis reduzem a contagem. Consulte os resumos: Pontos notáveis, Alturas, Medianas e Bissetrizes.
- a) Equilátero → 3 segmentos. Em um triângulo equilátero, para cada vértice a altura coincide com a mediana e com a bissetriz. Assim, existem apenas os três segmentos que partem dos vértices (todos concorrentes no mesmo ponto), logo 3.
- b) Isósceles não equilátero → 7 segmentos.
A partir do vértice do ângulo entre os lados congruentes, a altura, a mediana e a bissetriz coincidem (um único segmento).
Já em cada vértice da base, os três segmentos são distintos. Portanto:
- 1 segmento (vértice do topo) + 3 segmentos (vértice da base esquerda) + 3 segmentos (vértice da base direita) = 7.
- c) Escaleno → 9 segmentos. Não há coincidências: em cada vértice, altura, mediana e bissetriz são diferentes. Logo, 3 × 3 = 9.
Gabarito: a) 3 • b) 7 • c) 9.
Exercício 4 – Sendo G o baricentro do triângulo ABC, determine x, y e z.
Dados: AG = 10, BG = y e CG = 14.
Ver solução
Fato do baricentro: em cada mediana, o baricentro divide o segmento na razão 2:1 (do vértice até G é o dobro do trecho de G ao ponto médio).
1) Mediana a partir de A (trechos AG e GMBC; na figura, z é o trecho abaixo de G):
Logo, z = 5.
2) Mediana a partir de B (trechos BG = y e GMAC = x):
3) Mediana a partir de C (trechos CG = 14 e GMAB):
Resposta: z = 5, x = y/2 e y = 2x.
Reforce: Medianas e baricentro • Pontos notáveis do triângulo.
Exercício 5 – Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de AB, determine x.
Dados: DP = 16 e PM = x.
Ver solução
Ideia: Transformar o problema em um caso de baricentro no triângulo ABD.
Resposta: x = 8.
Revisões úteis: Medianas e baricentro • Pontos notáveis do triângulo.
Exercício 6 – Sendo H o ortocentro de um triângulo ABC e ∠BHC = 150°, determine ∠A.
Ver solução
Resposta: ∠A = 30°.
Exercício 7 – Se H é o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de base BC e ∠BHC = 50°, determine os ângulos do triângulo.
Ver solução
Resposta: ∠A = 130°, ∠B = 25°, ∠C = 25°.
Veja também: Alturas e ortocentro • Pontos notáveis do triângulo.
Exercício 8 – Se P é o incentro do triângulo ABC e ∠BPC = 125°, determine ∠A.
Ver solução
Fato conhecido do incentro: o ângulo formado pelas semirretas que ligam o incentro aos vértices B e C vale 90° + A/2.
Resposta: ∠A = 70°.
Revisão útil: Bissetrizes e incentro.
Exercício 9 – Em um triângulo ABC, os ângulos A e B medem, respectivamente, 86° e 34°. Determine o ângulo agudo formado pela mediatriz relativa ao lado BC e pela bissetriz do ângulo C.
Ver solução
Resposta: 60°.
Revisões: Mediatrizes e circuncentro • Bissetrizes e incentro.
