Exercício Trigonometria

(UECE) José caminhou na praia em linha reta deslocando-se do ponto \( X \) ao ponto \( Y \), percorrendo um total de \( 1200 \, \text{m} \). No ponto \( X \), observou um navio ancorado no ponto \( Z \), de tal forma que o ângulo \( \widehat{Y \hat{X} Z} \) era aproximadamente \( 60^\circ \). Ao chegar ao ponto \( Y \), verificou que o ângulo \( \widehat{X \hat{Y} Z} \) era de \( 45^\circ \). Nessas condições, a distância do navio à praia, em metros, é aproximadamente:

a) 720.

b) 760.

c) 780.

d) 740.

Nota: Considere \( \tan 60^\circ \approx \frac{19}{11} \).

Seja \( d \) a distância entre o navio e a praia. No triângulo \( XZD \):

\(\tan 60^\circ = \frac{d}{XD} = \frac{19}{11} \Rightarrow d = \frac{19}{11} XD \quad (I)\)

No triângulo \( YZD \), com ângulo de \( 45^\circ \):

\(\tan 45^\circ = \frac{d}{DY} \Rightarrow d = DY \quad (II)\)

Sabemos que \( XD + DY = XY = 1200 \). De (I) e (II):

\( XD + \frac{19}{11} XD = 1200 \Rightarrow XD \cdot \frac{30}{11} = 1200 \Rightarrow XD = \frac{1200 \cdot 11}{30} = 440 \)

Substituindo \( XD \) em (I):

\( d = \frac{19}{11} \cdot 440 = 760 \, \text{m} \)

Portanto, a distância do navio à praia é 760 m (alternativa b).

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