As equações exponenciais e logarítmicas aparecem com frequência em provas do ENEM, vestibulares e concursos públicos. Dominar esses conceitos é essencial para compreender crescimento e decaimento, juros compostos e fenômenos naturais como radiação e epidemias.
1. Revisão rápida dos conceitos
- Equação exponencial: a incógnita aparece no expoente.
- Equação logarítmica: a incógnita aparece dentro do logaritmo.
Propriedades fundamentais
- \( a^0 = 1 \)
- \( a^{-x} = \frac{1}{a^x} \)
- \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \)
- \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
- \( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y \)
- \( \log_a (x^n) = n \cdot \log_a x \)
2. Exemplos resolvidos
Exemplo 1:
Resolva \( 2^x = 8 \)
\( 8 = 2^3 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3 \)
Exemplo 2:
Resolva \( 5^x = 20 \)
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
\( x \cdot \log 5 = \log 20 \Rightarrow x = \frac{\log 20}{\log 5} \approx 1,86 \)
Exemplo 3:
Resolva \( \log_2 (x) = 3 \)
Transformando em forma exponencial: \( x = 2^3 \Rightarrow x = 8 \)
Exemplo 4:
Resolva \( \log_5 (x + 5) = 2 \)
Transformando em forma exponencial: \( x + 5 = 5^2 \Rightarrow x + 5 = 25 \Rightarrow x = 20 \)
3. Exercícios de múltipla escolha
- a) 1
- b) 2
- c) 3
- d) 4
Ver solução
\( 27 = 3^3 \Rightarrow 3^{x+1} = 3^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \).
Resposta: b) 2
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 5
Ver solução
\( 64 = 4^3 \Rightarrow 4^x = 4^3 \Rightarrow x = 3 \).
Resposta: b) 3
- a) 1
- b) 1,67
- c) 2
- d) 3
Ver solução
\( 16 = 2^4 \Rightarrow 2^{3x-1} = 2^4 \Rightarrow 3x – 1 = 4 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \approx 1,67 \).
Resposta: b) 1,67
- a) 6
- b) 7
- c) 8
- d) 9
Ver solução
Forma exponencial: \( x – 1 = 2^3 \Rightarrow x – 1 = 8 \Rightarrow x = 9 \).
Resposta: d) 9
- a) 1,5
- b) 1
- c) 2
- d) 0,5
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\( 1000 = 10^3 \Rightarrow 10^{2x} = 10^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5 \).
Resposta: a) 1,5
- a) 40
- b) 41
- c) 39,5
- d) 35
Ver solução
Transformando em forma exponencial: \( 2x + 1 = 3^4 = 81 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow x = 40 \).
Resposta: a) 40
- a) 4
- b) 2
- c) 3
- d) 1
Ver solução
Usando a propriedade do produto: \( \log_2 [x(x – 2)] = 3 \Rightarrow \log_2 (x^2 – 2x) = 3 \Rightarrow x^2 – 2x = 8 \Rightarrow x^2 – 2x – 8 = 0 \).
Resolvendo: \( x = 4 \) ou \( x = -2 \). Como o logaritmo só existe para números positivos, \( x = 4 \).
Resposta: a) 4
