Exercícios Prisma Triangular

Exercícios — Prisma Triangular (com soluções em formato vertical)

Exercícios — Prisma Triangular

Soluções na vertical (cada passo embaixo da igualdade). Conteúdos: área lateral, área total, volume, planificação e Heron.

1) Uma claraboia tem forma de prisma triangular regular com lado da base (equilátera) $a=8\ \text{cm}$ e altura do prisma $h=12\ \text{cm}$. Calcule a área lateral e a área total.

Ver solução

$$\begin{aligned} p &= 3a\\ &= 3\cdot 8\\ &= 24\\[6pt] A_b &= \frac{\sqrt3}{4}a^2\\ &= \frac{\sqrt3}{4}\cdot 64\\ &= 16\sqrt3\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 24\cdot 12\\ &= 288\ \text{cm}^2\\[6pt] A_T &= A_L + 2A_b\\ &= 288 + 2\cdot 16\sqrt3\\ &= \boxed{288 + 32\sqrt3\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

2) Uma pequena embalagem é um prisma triangular cuja base é retângula com catetos $6\ \text{cm}$ e $8\ \text{cm}$. A altura do prisma é $10\ \text{cm}$. Calcule o volume e a área total.

Ver solução

$$\begin{aligned} \text{hip} &= \sqrt{6^2+8^2}\\ &= \sqrt{36+64}\\ &= \sqrt{100}\\ &= 10\\[6pt] p &= 6+8+10\\ &= 24\\[6pt] A_b &= \frac{6\cdot 8}{2}\\ &= \frac{48}{2}\\ &= 24\ \text{cm}^2\\[6pt] V &= A_b\cdot h\\ &= 24\cdot 10\\ &= \boxed{240\ \text{cm}^3}\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 24\cdot 10\\ &= 240\\[6pt] A_T &= A_L+2A_b\\ &= 240+2\cdot 24\\ &= \boxed{288\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

3) A seção de uma ponte é um triângulo isósceles de lados $a,a,b$ com $a=9\ \text{cm}$ e $b=14\ \text{cm}$. A altura do prisma é $h=7\ \text{cm}$. Calcule a área lateral, a área de cada base e o volume.

Ver solução

$$\begin{aligned} \text{altura do triângulo} &= \sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}\\ &= \sqrt{9^2-7^2}\\ &= \sqrt{81-49}\\ &= \sqrt{32}\\ &= 4\sqrt2\\[6pt] A_b &= \frac{b\cdot \text{altura}}{2}\\ &= \frac{14\cdot 4\sqrt2}{2}\\ &= 28\sqrt2\ \text{cm}^2\\[6pt] p &= a+a+b\\ &= 9+9+14\\ &= 32\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 32\cdot 7\\ &= \boxed{224\ \text{cm}^2}\\[6pt] V &= A_b\cdot h\\ &= 28\sqrt2\cdot 7\\ &= \boxed{196\sqrt2\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

4) Um módulo de telhado é um prisma triangular regular com área total $A_T=540+54\sqrt3\ \text{cm}^2$ e lado da base $a=9\ \text{cm}$. Calcule a altura do prisma e o volume.

Ver solução

$$\begin{aligned} p &= 3a\\ &= 27\\[6pt] A_b &= \frac{\sqrt3}{4}a^2\\ &= \frac{\sqrt3}{4}\cdot 81\\ &= 20{,}25\sqrt3\\[6pt] A_T &= p\,h + 2A_b\\ 540+54\sqrt3 &= 27h + 40{,}5\sqrt3\\ 27h &= 540 + 13{,}5\sqrt3\\ h &= \frac{540}{27} + \frac{13{,}5}{27}\sqrt3\\ &= 20 + \frac{\sqrt3}{2}\\ &\approx \boxed{20{,}866\ \text{cm}}\\[10pt] V &= A_b\cdot h\\ &= 20{,}25\sqrt3\left(20+\frac{\sqrt3}{2}\right)\\ &= 405\sqrt3 + 10{,}125\cdot 3\\ &= \boxed{405\sqrt3 + 30{,}375\ \text{cm}^3}\\ &\approx \boxed{731{,}86\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

5) Uma caixa técnica é um prisma triangular com base retângula (catetos $0{,}9\ \text{m}$ e $1{,}2\ \text{m}$) e altura do prisma $2{,}5\ \text{m}$. Pintura das faces laterais: R$ 38,00/m². Impermeabilização de cada base: R$ 52,00/m². Calcule o custo total.

Ver solução

$$\begin{aligned} \text{hip} &= \sqrt{0{,}9^2+1{,}2^2}\\ &= \sqrt{0{,}81+1{,}44}\\ &= \sqrt{2{,}25}\\ &= 1{,}5\ \text{m}\\[6pt] p &= 0{,}9+1{,}2+1{,}5\\ &= 3{,}6\ \text{m}\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 3{,}6\cdot 2{,}5\\ &= 9{,}0\ \text{m}^2\\[6pt] A_b &= \frac{0{,}9\cdot 1{,}2}{2}\\ &= \frac{1{,}08}{2}\\ &= 0{,}54\ \text{m}^2\\[6pt] \text{Custo lateral} &= 9{,}0\cdot 38{,}00\\ &= \text{R\$}\ 342{,}00\\[6pt] \text{Custo bases} &= 2\cdot 0{,}54\cdot 52{,}00\\ &= 1{,}08\cdot 52{,}00\\ &= \text{R\$}\ 56{,}16\\[6pt] \text{Total} &= 342{,}00 + 56{,}16\\ &= \boxed{\text{R\$}\ 398{,}16} \end{aligned}$$

6) Um reservatório é um prisma triangular com base escalena de lados $7, 9, 10\ \text{cm}$ e altura do prisma $h=18\ \text{cm}$. Calcule a área da base (Heron), a área total e o volume.

Ver solução

$$\begin{aligned} s &= \frac{7+9+10}{2}\\ &= 13\\[6pt] A_b &= \sqrt{s(s-7)(s-9)(s-10)}\\ &= \sqrt{13\cdot 6\cdot 4\cdot 3}\\ &= \sqrt{936}\\ &= 6\sqrt{26}\ \text{cm}^2\\ &\approx 30{,}59\ \text{cm}^2\\[6pt] p &= 7+9+10\\ &= 26\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 26\cdot 18\\ &= 468\ \text{cm}^2\\[6pt] A_T &= A_L + 2A_b\\ &= 468 + 2\cdot 6\sqrt{26}\\ &= 468 + 12\sqrt{26}\\ &\approx \boxed{529{,}19\ \text{cm}^2}\\[6pt] V &= A_b\cdot h\\ &= 6\sqrt{26}\cdot 18\\ &= 108\sqrt{26}\\ &\approx \boxed{550{,}69\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

7) Deseja-se a planificação de um prisma triangular com base retângula de catetos $5\ \text{cm}$ e $12\ \text{cm}$ e altura do prisma $h=20\ \text{cm}$. (a) Dê as dimensões dos três retângulos; (b) calcule área lateral e área total; (c) com uma aba de cola de 1 cm ao longo de uma aresta lateral, qual a nova área de chapa?

Ver solução

$$\begin{aligned} \text{hip} &= \sqrt{5^2+12^2}\\ &= \sqrt{25+144}\\ &= \sqrt{169}\\ &= 13\\[6pt] \text{Retângulos} &: 5\times 20,\ 12\times 20,\ 13\times 20\\[6pt] p &= 5+12+13\\ &= 30\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 30\cdot 20\\ &= 600\ \text{cm}^2\\[6pt] A_b &= \frac{5\cdot 12}{2}\\ &= 30\ \text{cm}^2\\[6pt] A_T &= A_L + 2A_b\\ &= 600 + 60\\ &= 660\ \text{cm}^2\\[6pt] \text{Aba (1 cm × h)} &= 1\cdot 20\\ &= 20\ \text{cm}^2\\[6pt] \text{Chapa total} &= A_T + \text{Aba}\\ &= 660 + 20\\ &= \boxed{680\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

8) Um prisma triangular tem área lateral $A_L=1{,}20\ \text{m}^2$ e altura do prisma $h=0{,}5\ \text{m}$. A base é isósceles com lados $a,a,b$, sendo $a=0{,}4\ \text{m}$. (a) Calcule o perímetro da base; (b) determine $b$; (c) se a altura relativa a $b$ for $0{,}3\ \text{m}$, calcule o volume.

Ver solução

$$\begin{aligned} p &= \frac{A_L}{h}\\ &= \frac{1{,}20}{0{,}5}\\ &= 2{,}4\ \text{m}\\[6pt] b &= p – 2a\\ &= 2{,}4 – 2\cdot 0{,}4\\ &= 1{,}6\ \text{m}\\[6pt] A_b &= \frac{b\cdot \text{altura} }{2}\\ &= \frac{1{,}6\cdot 0{,}3}{2}\\ &= \frac{0{,}48}{2}\\ &= 0{,}24\ \text{m}^2\\[6pt] V &= A_b\cdot h\\ &= 0{,}24\cdot 0{,}5\\ &= \boxed{0{,}12\ \text{m}^3} \end{aligned}$$

9) Um tubo porta-desenhos é um prisma triangular regular. Deseja-se volume $V=2{,}5\ \text{L}=2500\ \text{cm}^3$ com restrição de área lateral $A_L\le 900\ \text{cm}^2$. (a) Escreva $V(a,h)$ e $A_L(a,h)$; (b) dê um par $(a,h)$ viável; (c) calcule a área total desse par.

Ver solução

$$\begin{aligned} \text{Base equilátera:}\quad A_b &= \frac{\sqrt3}{4}a^2,\quad p=3a\\[4pt] V(a,h) &= A_b\cdot h\\ &= \frac{\sqrt3}{4}a^2\,h\\[6pt] A_L(a,h) &= p\cdot h\\ &= 3a\,h\\[10pt] \text{Escolha } a&=20\ \text{cm}\\ h &= \frac{V}{A_b}\\ &= \frac{2500}{(\sqrt3/4)\cdot 20^2}\\ &= \frac{2500}{(\sqrt3/4)\cdot 400}\\ &= \frac{2500}{100\sqrt3}\\ &= \frac{25}{\sqrt3}\ \text{cm}\\ &\approx 14{,}434\\[8pt] A_L &= 3a\,h\\ &= 60\cdot \frac{25}{\sqrt3}\\ &= \frac{1500}{\sqrt3}\\ &\approx 866{,}03\ \text{cm}^2\ (\le 900)\\[8pt] A_b &= \frac{\sqrt3}{4}\cdot 20^2\\ &= 100\sqrt3\\[6pt] A_T &= A_L + 2A_b\\ &= \frac{1500}{\sqrt3} + 200\sqrt3\\ &= \frac{1500+600}{\sqrt3}\\ &= \boxed{\frac{2100}{\sqrt3}\ \text{cm}^2\ \approx\ 1212{,}44} \end{aligned}$$

10) Em um protótipo, o sólido é um prisma triangular com área total $A_T=1{,}62\ \text{m}^2$ e área lateral $A_L=1{,}20\ \text{m}^2$. A base é escalena com perímetro $p=1{,}8\ \text{m}$. (a) Encontre a área de cada base; (b) a altura do prisma; (c) verifique se os lados $0{,}40\ \text{m}$, $0{,}55\ \text{m}$, $0{,}85\ \text{m}$ são compatíveis (Heron); (d) discuta o ajuste pedido.

Ver solução

$$\begin{aligned} 2A_b &= A_T – A_L\\ &= 1{,}62 – 1{,}20\\ &= 0{,}42\\ A_b &= \boxed{0{,}21\ \text{m}^2}\\[8pt] h &= \frac{A_L}{p}\\ &= \frac{1{,}20}{1{,}8}\\ &= \boxed{\frac{2}{3}\ \text{m}\ \approx\ 0{,}6667}\\[10pt] s &= \frac{0{,}40+0{,}55+0{,}85}{2}\\ &= 0{,}90\\[4pt] A_b(\text{dados}) &= \sqrt{\,s(s-0{,}40)(s-0{,}55)(s-0{,}85)\,}\\ &= \sqrt{\,0{,}90\cdot 0{,}50\cdot 0{,}35\cdot 0{,}05\,}\\ &= \sqrt{0{,}007875}\\ &\approx 0{,}0888\ \text{m}^2\\[4pt] \text{Comparação} &: 0{,}0888 \ne 0{,}21\ \Rightarrow\ \text{incompatível.} \end{aligned}$$

(d) Observação importante: manter o mesmo perímetro e ajustar apenas um lado é contraditório quando os outros dois lados ficam fixos, pois o perímetro ficaria determinado. Logo, não é possível atingir $A_b=0{,}21\ \text{m}^2$ sob essas duas exigências simultâneas.
Para viabilizar, seria preciso relaxar uma condição: (i) permitir alterar dois lados mantendo o perímetro; ou (ii) ajustar um lado e aceitar que o perímetro mude.

8) Veja também (links internos)

Área de Triângulo (todas as fórmulas) Triângulo Equilátero Triângulo Retângulo Isósceles Triângulos Semelhantes Poliedros Sólidos de Platão Fórmula de Euler Planificação do Paralelepípedo Planificação do Cubo Paralelepípedo Esfera Octaedro

9) Materiais recomendados

🧠 Mapas Mentais de Matemática 🎯 ENEM Matemática 📚 Coleção 10 eBooks 🗃️ Banco de Questões de Matemática 📺 Canais Oficiais de Matemática

Relacionadas

Exercícios de Prisma Regular

Exercícios de Cubo — Geometria Espacial (com gabarito)

Exercícios de Paralelepípedo

"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.