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Exercícios Resolvidos de Derivada
Procura exercícios de derivadas com gabarito passo a passo para revisar Cálculo Diferencial? Esta lista reúne 10 problemas essenciais — regra da potência, regra da cadeia, logaritmos, quociente, derivada implícita, reta tangente e pontos críticos — com soluções claras e objetivas. Ideal para ENEM, vestibulares e concursos, além de cursos iniciais de Cálculo.
Exercício 1\(f(x)=x^3\)
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Regra da potência: \(f'(x)=3x^{2}\).
Exercício 2\(f(x)=x^{-3}\)
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Regra da potência: \(f'(x)=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^{4}}\).
Exercício 3\(f(x)=\ln(x^{3}+1)\)
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Regra da cadeia: \(u=x^{3}+1\Rightarrow u’=3x^{2}\). Logo,
\(f'(x)=\dfrac{u’}{u}=\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}\).
Exercício 4\(f(x)=\ln(sen x)\)
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Regra da cadeia: \(f'(x)=\dfrac{1}{sen x}\cdot\cos x=\cot(x)\). Domínio: \(sen x>0\).
Exercício 5\(f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}\)
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\(f(x)=(x^{2}+2x)^{1/2}\Rightarrow f'(x)=\tfrac12(x^{2}+2x)^{-1/2}(2x+2)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\).
Válido para \(x<-2\) ou \(x>0\).
Válido para \(x<-2\) ou \(x>0\).
Exercício 6\(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{4}}\)
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Escreva \(f(x)=(\ln x)\,x^{-4}\). Assim,
\(f'(x)=\dfrac{1}{x}\,x^{-4}+(\ln x)(-4)x^{-5}=\dfrac{1-4\ln x}{x^{5}}\) (com \(x>0\)).
Exercício 7Derivada implícita: \(x^{2}y+2y^{3}=3x+2y\)
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Derivando ambos os lados: \(2xy+x^{2}y’+6y^{2}y’=3+2y’\).
Isolando: \(\boxed{\,y’=\dfrac{3-2xy}{x^{2}+6y^{2}-2}\,}\).
Exercício 8Reta tangente a \(f(x)=x^{4}+2x^{2}-x\) em \(x=1\)
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\(f(1)=2\Rightarrow(1,2)\).
\(f'(x)=4x^{3}+4x-1\Rightarrow f'(1)=7\).
Reta: \(y-2=7(x-1)\Rightarrow \boxed{y=7x-5}\).
Exercício 9Reta tangente a \(y=(x-1)^{5}\) em \((2,1)\)
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\(y’=5(x-1)^{4}\Rightarrow m=5\) em \(x=2\).
Reta: \(y-1=5(x-2)\Rightarrow \boxed{y=5x-9}\).
Exercício 10Pontos críticos de \(f(x)=3x^{5}+5x^{4}-10x^{3}-15\)
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\(f'(x)=15x^{4}+20x^{3}-30x^{2}=5x^{2}(3x^{2}+4x-6)\).
Zeros: \(\boxed{\,x=0,\; x=\frac{-2\pm\sqrt{22}}{3}\,}\).
(Classificação: máx. local em \(\frac{-2-\sqrt{22}}{3}\), mín. local em \(\frac{-2+\sqrt{22}}{3}\), e inflexão horizontal em \((0,-15)\).)
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