Experimentos Aleatórios — definição simples e exemplos práticos
Enunciados claros e soluções no sistema abre/fecha (azul fechado, verde aberto), mantendo layout leve, responsivo e linguagem matemática.
1) O que é um experimento aleatório?
É qualquer ação cujos resultados possíveis são conhecidos, mas o resultado específico é incerto antes de ocorrer (moeda, dado, baralho, urnas etc.).
Características essenciais
- Incerteza: não sabemos qual será o resultado exato.
- Resultados bem definidos: o conjunto de possibilidades é conhecido.
- Repetibilidade: pode ser repetido sob mesmas condições, gerando desfechos distintos.
Conceitos relacionados
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2) Espaço amostral (Ω ou S)
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
| Experimento | Espaço amostral (Ω) |
|---|---|
| 1 moeda | {cara, coroa} |
| 1 dado honesto | {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| 1 carta de baralho padrão (52, sem coringas) | 52 possibilidades (13 valores × 4 naipes) |
| Urna (azul, vermelha, branca) | {azul, vermelha, branca} |
3) Da listagem ao cálculo: probabilidade clássica
Com \(\Omega\) conhecido, a probabilidade de um evento \(A\) é \( \displaystyle P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \).
Exemplo 1 — Moeda: Lance uma moeda honesta. Qual a probabilidade de a face
cara ficar voltada para cima?
Ver solução
\(|\Omega|=2\) (cara, coroa) e \(|A|=1\) (cara).
\(P(\text{cara})=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{2}=50\%\).
Exemplo 2 — Dado: Lance um dado honesto. Qual a probabilidade de obter o
número 2 na face superior?
Ver solução
\(|\Omega|=6\) e \(|A|=1\) (apenas a face 2).
\(P(2)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{6}\approx16{,}66\%\).
Exemplo 3 — Baralho: Retire, ao acaso, uma carta de um baralho padrão
(52 cartas, sem coringas). Qual a probabilidade de ela pertencer ao
naipe de paus?
Ver solução
\(|\Omega|=52\) e \(|A|=13\) (cartas de paus).
\(P(\text{paus})=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=25\%.\)
4) Exemplos práticos e situações reais
4.1 Urnas (com e sem reposição)
Uma urna contém 3 bolas azuis, 4 vermelhas e 3 verdes. Realize duas retiradas
com reposição. Qual a probabilidade de retirar azul na
primeira e azul na segunda retirada?
Ver solução
Como há reposição, a composição da urna não muda após a primeira retirada;
logo, as retiradas são independentes. Assim,
\(P(\text{azul})=\frac{3}{10}\) e \(P(\text{azul, azul})=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{100}=9\%.\)
4.2 Ensaio de Bernoulli
Em um processo com apenas dois resultados (sucesso/fracasso), a chance de sucesso é \(p\).
Quais são as probabilidades de observar sucesso e de observar
fracasso em uma única tentativa?
Ver solução
Definindo \(X\in\{0,1\}\) com \(0\le p\le 1\): \(P(X=1)=p\) (sucesso) e \(P(X=0)=1-p\) (fracasso).
4.3 Lei dos Grandes Números
Lance uma moeda justa muitas vezes (por exemplo, \(1000\) lançamentos). Para qual valor a
frequência relativa de “cara” tende a convergir?
Ver solução
Pela LGN, a frequência relativa de “cara” tende a \(0{,}5\) (ou \(50\%\)) conforme o número de lançamentos cresce.
4.4 Dois dados (soma)
Lance dois dados honestos simultaneamente. Qual a probabilidade de a soma das faces
observadas ser igual a 7?
Ver solução
Existem \(36\) pares equiprováveis; 6 deles somam \(7\):
\((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\).
\(P(\text{soma }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16{,}66\%.\)
5) Exercícios rápidos (com solução)
(1) Lance uma moeda honesta duas vezes. Qual a probabilidade de obter
pelo menos uma cara voltada para cima?
Ver solução
\(\Omega=\{\text{CC},\text{CR},\text{RC},\text{RR}\}\Rightarrow |\Omega|=4\).
Evento complementar (nenhuma cara): \(\{\text{RR}\}\Rightarrow |A^c|=1\).
\(P(\ge 1 \text{ cara})=1-\frac{|A^c|}{|\Omega|}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%.\)
(2) Lance um dado honesto. Qual a probabilidade de obter um
número par na face superior?
Ver solução
\(|\Omega|=6\) e \(|A|=3\) (faces 2, 4 e 6).
\(P(\text{par})=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%.\)
(3) Retire, ao acaso, uma carta de um baralho comum (52 cartas, sem coringas).
Qual a probabilidade de a carta ser do naipe de copas?
Ver solução
\(|\Omega|=52\) e \(|A|=13\) (cartas de copas).
\(P(\text{copas})=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=25\%.\)
(4) Em uma urna com 5 bolas azuis e 5 vermelhas, uma bola é retirada
ao acaso. Qual a probabilidade de sair a cor azul?
Ver solução
\(|\Omega|=10\) (todas as bolas) e \(|A|=5\) (azuis).
\(P(\text{azul})=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=50\%.\)
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Conclusão
Você viu enunciados mais objetivos e soluções compactas no sistema abre/fecha (azul fechado, verde aberto), consolidando a identificação de experimentos aleatórios, a listagem do espaço amostral e a probabilidade clássica.
6) Lista de Exercícios — Experimentos Aleatórios
Questão 1. Lance uma moeda honesta duas vezes.
Qual a probabilidade de sair cara em ambas as jogadas?
- A) \( \frac{1}{2} \)
- B) \( \frac{1}{3} \)
- C) \( \frac{1}{4} \)
- D) \( \frac{2}{3} \)
- E) \( \frac{3}{4} \)
Ver solução
As duas jogadas são independentes e \(P(\text{cara})=\frac{1}{2}\) em cada uma.
\( P(\text{cara e cara})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. \)
Gabarito: C.
Questão 2. Uma urna contém 5 azuis, 3 vermelhas e 2 brancas.
Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de não sair azul?
- A) \( \frac{1}{5} \)
- B) \( \frac{1}{2} \)
- C) \( \frac{2}{5} \)
- D) \( \frac{1}{3} \)
- E) \( \frac{3}{5} \)
Ver solução
Total \(=5+3+2=10\). Não-azuis \(=3+2=5\).
Gabarito: B.
\( P(\text{não azul})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}. \)
Observação: se preferir a pergunta “probabilidade de não sair azul” como complemento de “sair azul”, também vale:
\(1-\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).Gabarito: B.
Questão 3. Ao lançar um dado honesto uma vez, qual a probabilidade de obter
um número maior que 4?
- A) \( \frac{1}{3} \)
- B) \( \frac{1}{2} \)
- C) \( \frac{2}{3} \)
- D) \( \frac{5}{6} \)
- E) \( \frac{1}{6} \)
Ver solução
Números maiores que 4 em \(\{1,2,3,4,5,6\}\) são \(\{5,6\}\) (2 casos). Total \(=6\).
\( P(>4)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \)
Gabarito: A.
Questão 4. De um baralho comum de 52 cartas (sem coringas), retira-se uma carta.
Qual a probabilidade de a carta ser do naipe de copas?
- A) \( \frac{1}{13} \)
- B) \( \frac{1}{26} \)
- C) \( \frac{1}{4} \)
- D) \( \frac{1}{2} \)
- E) \( \frac{1}{52} \)
Ver solução
Há 4 naipes com 13 cartas cada. Logo:
\( P(\text{copas})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}. \)
Gabarito: C.
Questão 5. Lançam-se dois dados honestos simultaneamente.
Qual a probabilidade de a soma ser igual a \(8\)?
- A) \( \frac{1}{36} \)
- B) \( \frac{5}{36} \)
- C) \( \frac{1}{9} \)
- D) \( \frac{1}{6} \)
- E) \( \frac{7}{36} \)
Ver solução
Pares que somam 8: \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\) — 5 casos entre 36 possíveis.
\( P(\text{soma }8)=\frac{5}{36}. \)
Gabarito: B.
Gabarito
1) C 2) B 3) A 4) C 5) B
