Expressões Numéricas com Potenciação e Radiciação

Expressões Numéricas com Potenciação e Radiciação — Guia Completo

Neste guia você aprende a dominar potências e raízes dentro de expressões numéricas: leis de expoentes, propriedades de radicais, ordem de prioridade, exemplos e exercícios com gabarito. Para revisar outros tópicos relacionados, veja: Conjuntos Numéricos, Expressões com Números Inteiros, Expressões com Racionais e Decimais e Expressões com Frações. Para naturais, consulte também Expressões com Números Naturais.

Ideia central: em expressões, respeite a ordem de prioridade e manipule potências/raízes com propriedades corretas — principalmente quando a base é negativa e quando há expoentes fracionários.

Ordem de Prioridade (PEMDAS/BODMAS adaptado)

Parênteses \((\,)\), depois colchetes \([\;]\) e chaves \(\{\;\}\)
Potenciação e Radiciação
Multiplicação e Divisão (da esquerda para a direita)
Soma e Subtração (da esquerda para a direita)

Potenciação — propriedades essenciais

Definição: \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ vezes}}\), com \(n\in\mathbb{N}\).
Produto de potências (mesma base): \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).
Quociente de potências (mesma base): \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) (com \(a\neq0\)).
Potência de potência: \((a^m)^n=a^{mn}\).
Potência de produto: \((ab)^n=a^n b^n\); Potência de quociente: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) \((b\neq0)\).
Expoente zero: \(a^0=1\) (com \(a\neq0\)).
Expoente negativo: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) \((a\neq0)\).
Base negativa e parênteses: \((-3)^2=9\) mas \(-3^2=-(3^2)=-9\).
Expoente fracionário: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\) (para \(a\ge 0\) quando \(n\) é par).

Radiciação — propriedades essenciais

Definição: \(\sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a\).
Produto/Quociente sob o radical: \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\), \(\ \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) \((b\neq0)\).
Simplificação de radicais: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\), \(\ \sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\ \sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Racionalização (exemplo): \(\dfrac{5}{\sqrt{20}}=\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
Índices ímpares aceitam negativos: \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Já \(\sqrt{-1}\) não é real.

Exemplos Resolvidos

📌 Ex.1 — Misturando potências e raízes

\( (-3)^2 + 2^3\cdot\sqrt{49} – 5 = 9 + 8\cdot7 – 5 = 9 + 56 – 5 = 60 \).

📌 Ex.2 — Atenção ao sinal da base

\( -3^2 + (-2)^3 + \dfrac{\sqrt{144}}{-3} = -9 – 8 – 4 = -21 \).

Sem parênteses, o sinal não integra a base: \( -3^2=-(3^2) \).

📌 Ex.3 — Expoente fracionário e raiz racional

\( 27^{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{1}{16}}=(\sqrt[3]{27})^2+\frac{1}{4}=3^2+\frac{1}{4}=9+\frac{1}{4}=\frac{37}{4} \).

📌 Ex.4 — Expoente negativo + decimal exato na raiz

\(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{-2}+\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1}-\sqrt{0{,}81} =\tfrac{4}{9}+4-0{,}9=\tfrac{319}{90}\).

📌 Ex.5 — Simplificação e racionalização

\(\dfrac{5}{\sqrt{20}}=\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

🧠 Exercícios Propostos (Potenciação & Radiciação)

Resolva e confira no gabarito interativo logo abaixo.

\( (-3)^2 + 2^3\cdot\sqrt{49} – 5 \)
\( -3^2 + (-2)^3 + \dfrac{\sqrt{144}}{-3} \)
\( 27^{\frac{2}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{16}} \)
\( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} – \sqrt{0{,}81} \)
\( \dfrac{5}{\sqrt{20}} \) (racionalize)
\( \sqrt{72} – 2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} \)
\( \dfrac{(2^3)^2\cdot 5^{-1}}{10^{-2}} \)
\( \big(\sqrt{81}\big)^{-1} + \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} \)
\( 16^{3/4} + 32^{-5/5} \)
\( \sqrt[3]{64}\cdot\sqrt{49}\div 7^{-2} \)
\( \dfrac{\big((-4)^3\big)^2}{\big((-4)^2\big)^3} \)
\( \left(\sqrt{\dfrac{9}{25}}\right)^{-2} – \dfrac{27^{2/3}}{3^2} \)

📘 Gabarito com Soluções Passo a Passo

\(9 + 8\cdot7 – 5 = 9 + 56 – 5 = 60\).

Resposta: 60

\( -3^2=-9;\ (-2)^3=-8;\ \sqrt{144}/(-3)=-4 \Rightarrow -9-8-4=-21\).

Resposta: -21

\((\sqrt[3]{27})^2+\sqrt{\tfrac{1}{16}}=3^2+\tfrac{1}{4}=9+\tfrac{1}{4}=\tfrac{37}{4}\).

Resposta: \(\tfrac{37}{4}\) (9,25)

\(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{-2}=\tfrac{4}{9};\ \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1}=4;\ \sqrt{0{,}81}=0{,}9 \Rightarrow \tfrac{4}{9}+4-0{,}9=\tfrac{319}{90}\).

Resposta: \(\tfrac{319}{90}\) (≈ 3,544…)

\(\dfrac{5}{\sqrt{20}}=\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

Resposta: \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\sqrt{72}=6\sqrt{2};\ 2\sqrt{18}=6\sqrt{2};\ 3\sqrt{8}=6\sqrt{2} \Rightarrow 6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).

Resposta: \(6\sqrt{2}\)

\((2^3)^2=2^6=64;\ 5^{-1}=\tfrac{1}{5};\ 10^{-2}=\tfrac{1}{100}\Rightarrow \dfrac{64/5}{1/100}= \dfrac{64}{5}\cdot 100=1280\).

Resposta: 1280

\(\big(\sqrt{81}\big)^{-1}=9^{-1}=\tfrac{1}{9};\ (1/9)^{-1/2}= \dfrac{1}{\sqrt{1/9}}=3\Rightarrow \tfrac{1}{9}+3=\tfrac{28}{9}\).

Resposta: \(\tfrac{28}{9}\) (≈ 3,111…)

\(16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8;\ 32^{-1}=\tfrac{1}{32};\ 8+\tfrac{1}{32}=\tfrac{257}{32}\).

Resposta: \(\tfrac{257}{32}\) (8,03125)

10)

\(\sqrt[3]{64}=4;\ \sqrt{49}=7;\ \div 7^{-2}=\times 7^{2}\Rightarrow 4\cdot7\cdot 7^{2}=28\cdot49=1372\).

Resposta: 1372

11)

\(\dfrac{((-4)^3)^2}{((-4)^2)^3}=\dfrac{(-4)^{6}}{(-4)^{6}}=1\).

Resposta: 1

12)

\(\sqrt{\tfrac{9}{25}}=\tfrac{3}{5};\ (\tfrac{3}{5})^{-2}=(\tfrac{5}{3})^2=\tfrac{25}{9};\ 27^{2/3}=9;\ \dfrac{9}{3^2}=\dfrac{9}{9}=1\Rightarrow \tfrac{25}{9}-1=\tfrac{16}{9}\).

Resposta: \(\tfrac{16}{9}\) (≈ 1,777…)

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Quiz de Potenciação e Radiciação

Acertos: 0/12

\( (-3)^2 + 2^3\cdot\sqrt{49} – 5 \)

Solução
\( (-3)^2=9,\ 2^3=8,\ \sqrt{49}=7 \Rightarrow 9+8\cdot7-5=9+56-5=60 \)
\( -3^2 + (-2)^3 + \dfrac{\sqrt{144}}{-3} \)

Solução
\( -3^2=-(3^2)=-9;\ (-2)^3=-8;\ \sqrt{144}/(-3)=12/(-3)=-4 \Rightarrow -9-8-4=-21 \)
\( 27^{\frac{2}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{16}} \)

Solução
\( 27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9;\ \sqrt{1/16}=1/4 \Rightarrow 9+\tfrac{1}{4}=9{,}25=\tfrac{37}{4} \)
\( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} – \sqrt{0{,}81} \)

Solução
\( (3/2)^{-2}=4/9;\ (1/4)^{-1}=4;\ \sqrt{0{,}81}=0{,}9 \Rightarrow 4/9+4-0{,}9=\tfrac{319}{90} \)
Racionalize \( \dfrac{5}{\sqrt{20}} \)

Solução
\( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \Rightarrow \frac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \)
Simplifique \( \sqrt{72} – 2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} \)

Solução
\( \sqrt{72}=6\sqrt{2},\ \sqrt{18}=3\sqrt{2},\ \sqrt{8}=2\sqrt{2} \Rightarrow 6\sqrt{2}-2\cdot3\sqrt{2}+3\cdot2\sqrt{2}=6\sqrt{2} \)
\( \dfrac{(2^3)^2\cdot 5^{-1}}{10^{-2}} \)

Solução
\( (2^3)^2=2^6=64;\ 5^{-1}=1/5;\ 10^{-2}=1/100 \Rightarrow \frac{64/5}{1/100}=\frac{64}{5}\cdot100=1280 \)
\( \big(\sqrt{81}\big)^{-1} + \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} \)

Solução
\( (\sqrt{81})^{-1}=1/9;\ (1/9)^{-1/2}=1/\sqrt{1/9}=3 \Rightarrow 1/9+3=28/9 \)
\( 16^{3/4} + 32^{-5/5} \)

Solução
\( 16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8;\ 32^{-1}=1/32 \Rightarrow 8+\tfrac{1}{32}=\tfrac{257}{32} \)
\( \sqrt[3]{64}\cdot\sqrt{49}\div 7^{-2} \)

Solução
\( \sqrt[3]{64}=4;\ \sqrt{49}=7;\ \div 7^{-2}=\times 7^2 \Rightarrow 4\cdot7\cdot49=1372 \)
\( \dfrac{\big((-4)^3\big)^2}{\big((-4)^2\big)^3} \)

Solução
\( ((-4)^3)^2=(-4)^6;\ ((-4)^2)^3=(-4)^6 \Rightarrow \frac{(-4)^6}{(-4)^6}=1 \)
\( \left(\sqrt{\dfrac{9}{25}}\right)^{-2} – \dfrac{27^{2/3}}{3^2} \)

Solução
\( \sqrt{9/25}=3/5 \Rightarrow (3/5)^{-2}=(5/3)^2=25/9;\ 27^{2/3}=9;\ 9/3^2=1 \Rightarrow 25/9-1=16/9 \)

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Racionalização

"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.